Свойства функций

Модуль

Понятие функции одной переменной

Функция – зависимость одной переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

График функции- множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты соответствующим значениям функции

!все значения х образуют область определения функции D(f)

!все значения, которые принимает у, образуют область значения функции F(D)

!функцияy=f(x) считается заданной, если указана ее область определения и правило, согласно которому каждое значение х представлено в соответствующее единственной значение у

!если функция задана формулой y=f(x) и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений переменной х, при котором выражение F(x) имеет смысл

Способы задания функции

1-аналитический-задание с помощью формулы, при этом различают явно заданную ф-ю y=f(x) и не явно заданную ф-ю f(x,y)=0 ф-ю может быть задана на разных участках и разными формулами (при аналитическом способе ф-я может быть задана параметрически –это означает, ХиУ выражены через некоторые параметры

2графический-задается графиком

3-табличный-Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции

4-словесный, описательный, алгоритмический

Свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

4) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

5) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

6) Периодическость функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.