Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации


Группы алгебра

                Определение. Группой  называется непустое множество, в котором для любых двух элементов  определен элемент  (произведение), причем:
                1) ;
                2) ;
                3) .

Примеры групп:
1)  - невырожденные матрицы размера  с комплексными коэффициентами – группа относительно операции умножения матриц;
2)  - целые числа – группа относительно операции сложения целых чисел;
3) Группа диэдра :
Подпись:  Рассмотрим на плоскости ортонормированный базис, приведем окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Впишем в нее правильный -угольник, одна из вершин которого находится в конце вектора .  - это все движения плоскости, переводящие этот -угольник в себя.
Убедимся в том, что это множество будет группой относительно композиции движений:
1) композиция движений ассоциативна;
2) в качестве единичного элемента можно взять тождественное движение;
3) в качестве обратного элемента можно взять обратное движение.
Рассмотрим эту группу более подробно. При любом таком движении центр -угольника остается на месте, следовательно, это ортогональное преобразование плоскости, т.е. либо поворот на некоторый угол, либо симметрия относительно некоторой прямой.
Т.к. при повороте вершина  должна перейти в какую-то вершину, то поворот может быть только на угол , где . Обозначим матицу поворота на угол  за . В качестве симметрии подходит, например, симметрия относительно оси , матрица такого преобразования .

Теорема. Группа  состоит из  элементов, а именно  и .

Доказательство.
Как уже говорилось, поворот может быть только на угол , где . Запишем матрицу такого поворота: , но ни что иное как . Следовательно  - это все повороты, входящие в группу .
Пусть теперь  - это какая-нибудь симметрия из группы . Тогда  тоже принадлежит этой группе, причем это ортогональная матрица и ее определитель равен . Следовательно, это поворот, т.е. . Т.к. , то , следовательно, все симметрии из  - это .
Мы доказали, что группа  не содержит ничего кроме элементов , докажем теперь, что все эти элементы различны. Все элементы  различны, т.к. это повороты на разные углы. Если , то , что невозможно. Если , то , а мы уже доказали, что это невозможно.
И последнее утверждение теоремы.  - это поворот на угол , т.е. тождественное движение. Т.к. , то это симметрия относительно некоторой прямой, но симметрия в квадрате это всегда тождественное движение, следовательно, .

Упражнение. Доказать, что .

                4) приведем пример еще одной группы – группы кватернионов . Рассмотрим матрицы .

               Упражнение. Доказать, что , , , . Доказать, что матрицы  образуют группу относительно операции умножения матриц.

                Упражнение. Докажите, что в любой группе единичный элемент  определен однозначно и для любого элемента  обратный элемент  также определен однозначно.

                Определение. Порядком группы  называется количество элементов в группе, обозначается .

Упражнение. Рассмотрим группу  - невырожденные матрицы  над полем из  элементов. Доказать, что ее порядок равен .

                Определение. Пусть  - группа. Непустое подмножество  в называется подгруппой, если              1) ;
                2) .

Замечание. Единичный элемент всегда принадлежит любой подгруппе. Т.к.  непустое, то там есть хотя бы один элемент . По свойству 2) , по свойству 1) .

                Упражнение. Докажите, что в любой группе пересечение любого числа подгрупп тоже будет подгруппой.

                Примеры подгрупп:
1) Группа . Ее подгруппы: ;  - вещественные матрицы с определителем единица; ;  - унитарные матрицы;  - унитарные матрицы с определителем единица;  - ортогональные матрицы; ; (;  - подгруппы в группе );
2)  - группа подстановок.  (четные подстановки) – подгруппа. В частном случае, если  множество  также будет подгруппой;
3)  - группа ненулевых комплексных чисел относительно умножения. Ее подгруппы:  - единичная окружность;  - корни из единицы.

Определение. Пусть  - элемент группы и  - целое число, тогда .

Теорема. Если , то  и .

Упражнение. Докажите теорему.

Определение. Пусть . Порядком элемента (обозначается  или ) называется наименьшее натуральное  такое, что . Если такого числа не существует, то элемент имеет бесконечный порядок.

Упражнение. Найдите порядок элемента .

Предложение. Пусть . Для целого числа  следующие условия эквивалентны:
1) ;
2) .
Доказательство.
. Пусть , , тогда .
. Пусть , где , тогда . Следовательно , т.к. иначе имели бы . Следовательно . .





 

Читайте также:

Кольцо называется коммутативным, ассоциативным, антикоммутативным. Кольцо Ли в алгебре

Внешнее произведение групп

Группа G

Теорема: Любая целочисленная прямоугольная матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к диагональному виду

Левый смежный класс | Правый смежный класс

Вернуться в оглавление: Алгебра

Просмотров: 8572

 
 

© studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам