Некоторые сведения из векторного анализа

Некоторые физические величины описываются одним лишь числом – это скалярные величины (масса, температура, объем, энергия); для описания других требуется задать величину и направление – это векторы (скорость, сила). Векторы будем обозначать подчеркнутыми буквами (например ); та же буква без черты будет обозначать модуль (длину): .

Сразу же заметим, что векторы в виде направленных отрезков идеально подходят для описания перемещения (трансляции) тела в пространстве, а даже такое простейшее движение тела как вращение вокруг неподвижной оси удобно изобразить в виде кругового вектора , полностью описывающего и направление вращения и своей длиной угол поворота.

Круговому вектору поставим в соответствие прямой вектор , который перпендикулярен плоскости кругового, а направление согласовано с выбором ориентации пространства:

Рис. 1.2. Ориентация пространства

Пространство называется правоориентированным, если с конца прямого вектора

направление кругового видно противчасовой стрелки и левоориентированным, если по часовой стрелке (рис. 1.2).

Векторы и тензоры называются полярными, если при изменении ориентации они не изменяются, и аксиальными, если изменяют знак на противоположный. Из изложенного ясно, что величины, прямо либо косвенно связанные с перемещениями, являются (скорее всего) полярными, а с вращениями – аксиальными, но это необходимо проверять.

На множестве векторов (в векторном пространстве) вводятся операции с векторами, позволяющие не постулировать (как это принято в математике), а доказать привычные правила коммутативности (перестановочности) операций сложения и умножения, (за исключением операции векторного умножения, для которого ), дистрибутивности (распределительный закон умножения), ассоциативности (сочетательный закон) сложения.

Рис. 1.3. Сложение и умножение на число

1. Сложение векторов:

(рис 1.3,а).

2.Умножение на число: (рис 1.3,b).

3.Скалярное произведение:

. (1.2)

Независимо от выбора базиса модуль вектора вычисляется по формуле

С помощью скалярного произведения вычисляется проекция вектора на направление вектора : и угол между ними: .

В наиболее часто применяемом ортонормированном базисе , в котором – символ Кронекера,

Здесь применяется правило суммирования по повторяющимся индексам:

4. Векторное произведение: . Векторное произведение непосредственно связано с ориентацией пространства.

В результате произведения получается вектор , модуль которого равен произведению модулей сомножителей на синус угла между ними:

, а направлен он перпендикулярно сомножителям в ту сторону, откуда кратчайший поворот первого сомножителя ко второму виден: a) против часовой стрелки в правоориентированном пространстве;

б) по часовой стрелке в левоориентированном.

Далее по умолчанию будем считать пространство правоориентированным. Отметим геометрический смысл векторного произведения – это вектор, перпендикулярный к сомножителям, длина которого равна площади построенного на них параллелограмма (рис. 1.4,a).

Из определения векторного произведения следует, что в результате умножения двух полярных или двух аксиальных векторов получается аксиальный вектор, а произведение полярного на аксиальный – полярный вектор.

Векторное произведение не зависит от системы координат, а его координатная форма записи зависит. Так, в ортонормированном базисе векторное произведение формально можно записать в виде определителя

(, (1.3)

где знак (+) для правой тройки базисных векторов, а знак (–) – для левой.

Тройка векторов называется правой (в правоориентированном пространстве), если с конца третьего вектора () кратчайший поворот от первого ( ко второму ( виден происходящим против часовой стрелки.

Рис. 1.4. Векторное и смешанное произведения

В заключение раздела приведем часто используемые в механике формулы смешанного и двойного векторного произведений.

Смешанное произведение ( имеет простой геометрический смысл. Поскольку , где – площадь параллелограмма, а – единичный вектор нормали (рис. 1.4,b), то (, где –объем параллелепипеда, построенного на векторах ; знак (+) соответствует случаю, когда тройка векторов правая, знак (–) – левая.

Смешанное произведение не изменяется при круговой перестановке:

(. (1.4)

В координатном виде смешанное произведение с учетом (1.3) можно записать в виде:

, (1.5)

где, как и в (1.3), знак (+) для правой тройки базисных векторов, а (–) – для левой.

Формула для двойного векторного произведения имеет вид (без доказательства):

(формула «бац – цаб»). (1.6)

Упражнение 1.1. С помощью скалярного умножения доказать теорему косинусов для суммы векторов :

Упражнение 1.2. Доказать тождество (тождество Лагранжа):

. (1.6a)

Обозначим , внесем его по (1.4) в векторное произведение и воспользуемся тождеством (1.6):

Полагая, в частности, , получим:

Упражнение 1.3. Доказать тождество

. (1.6б)

Разумеется, тождество (1.6b) можно проверить прямым вычислением с помощью (1.5), но можно поступить иначе, познакомившись заодно с понятием взаимного базиса. Обозначим для удобства и разложим произвольный вектор по этому базису: . Чтобы найти, например, координату , надо умножить векторно на (исчезнет второе слагаемое) и затем скалярно на (исчезнет третье). Получим:

, откуда и аналогично , где векторы

(1.6в)

называются векторами взаимного базиса (или кобазиса). Таким образом,

Примем теперь , заменим в правой части с помощью тождества Лагранжа произведения на и умножим последнее равенство скалярно на . Полученное выражение – разложение определителя (1.6б) по третьей строке.

Если основной базис ортонормированный, то взаимный базис совпадает с основным, и только в этом случае координаты вектора совпадают с его проекциями на оси, задаваемые векторами базиса.

Формулы (1.6в) являются решениями системы уравнений , из которой определяются векторы взаимного базиса. Независящий от выбора базиса вектор можно разложить как по основному базису: , так и по взаимному: . Координаты называются контрвариантными, а - ковариантными (при замене базиса они меняются по тому же закону, что и основной базис).