Некоторые физические величины описываются одним лишь числом – это скалярные величины (масса, температура, объем, энергия); для описания других требуется задать величину и направление – это векторы (скорость, сила). Векторы будем обозначать подчеркнутыми буквами (например ); та же буква без черты будет обозначать модуль (длину): .
Сразу же заметим, что векторы в виде направленных отрезков идеально подходят для описания перемещения (трансляции) тела в пространстве, а даже такое простейшее движение тела как вращение вокруг неподвижной оси удобно изобразить в виде кругового вектора , полностью описывающего и направление вращения и своей длиной угол поворота.
Круговому вектору поставим в соответствие прямой вектор , который перпендикулярен плоскости кругового, а направление согласовано с выбором ориентации пространства:
Рис. 1.2. Ориентация пространства |
Векторы и тензоры называются полярными, если при изменении ориентации они не изменяются, и аксиальными, если изменяют знак на противоположный. Из изложенного ясно, что величины, прямо либо косвенно связанные с перемещениями, являются (скорее всего) полярными, а с вращениями – аксиальными, но это необходимо проверять.
На множестве векторов (в векторном пространстве) вводятся операции с векторами, позволяющие не постулировать (как это принято в математике), а доказать привычные правила коммутативности (перестановочности) операций сложения и умножения, (за исключением операции векторного умножения, для которого ), дистрибутивности (распределительный закон умножения), ассоциативности (сочетательный закон) сложения.
Рис. 1.3. Сложение и умножение на число |
a) |
b) |
1. Сложение векторов: (рис 1.3,а).
2.Умножение на число: (рис 1.3,b).
3.Скалярное произведение:
. (1.2)
Независимо от выбора базиса модуль вектора вычисляется по формуле
.
С помощью скалярного произведения вычисляется проекция вектора на направление вектора : и угол между ними: .
В наиболее часто применяемом ортонормированном базисе , в котором – символ Кронекера,
.
Здесь применяется правило суммирования по повторяющимся индексам:
.
4. Векторное произведение: . Векторное произведение непосредственно связано с ориентацией пространства.
В результате произведения получается вектор , модуль которого равен произведению модулей сомножителей на синус угла между ними:
, а направлен он перпендикулярно сомножителям в ту сторону, откуда кратчайший поворот первого сомножителя ко второму виден: a) против часовой стрелки в правоориентированном пространстве;
б) по часовой стрелке в левоориентированном.
Далее по умолчанию будем считать пространство правоориентированным. Отметим геометрический смысл векторного произведения – это вектор, перпендикулярный к сомножителям, длина которого равна площади построенного на них параллелограмма (рис. 1.4,a).
Из определения векторного произведения следует, что в результате умножения двух полярных или двух аксиальных векторов получается аксиальный вектор, а произведение полярного на аксиальный – полярный вектор.
Векторное произведение не зависит от системы координат, а его координатная форма записи зависит. Так, в ортонормированном базисе векторное произведение формально можно записать в виде определителя
(, (1.3)
где знак (+) для правой тройки базисных векторов, а знак (–) – для левой.
Тройка векторов называется правой (в правоориентированном пространстве), если с конца третьего вектора () кратчайший поворот от первого ( ко второму ( виден происходящим против часовой стрелки.
Рис. 1.4. Векторное и смешанное произведения |
b) |
S |
a) |
S |
В заключение раздела приведем часто используемые в механике формулы смешанного и двойного векторного произведений.
Смешанное произведение ( имеет простой геометрический смысл. Поскольку , где – площадь параллелограмма, а – единичный вектор нормали (рис. 1.4,b), то (, где –объем параллелепипеда, построенного на векторах ; знак (+) соответствует случаю, когда тройка векторов правая, знак (–) – левая.
Смешанное произведение не изменяется при круговой перестановке:
(. (1.4)
В координатном виде смешанное произведение с учетом (1.3) можно записать в виде:
, (1.5)
где, как и в (1.3), знак (+) для правой тройки базисных векторов, а (–) – для левой.
Формула для двойного векторного произведения имеет вид (без доказательства):
(формула «бац – цаб»). (1.6)
Упражнение 1.1. С помощью скалярного умножения доказать теорему косинусов для суммы векторов :
Упражнение 1.2. Доказать тождество (тождество Лагранжа):
. (1.6a)
Обозначим , внесем его по (1.4) в векторное произведение и воспользуемся тождеством (1.6):
.
Полагая, в частности, , получим:
.
Упражнение 1.3. Доказать тождество
. (1.6б)
Разумеется, тождество (1.6b) можно проверить прямым вычислением с помощью (1.5), но можно поступить иначе, познакомившись заодно с понятием взаимного базиса. Обозначим для удобства и разложим произвольный вектор по этому базису: . Чтобы найти, например, координату , надо умножить векторно на (исчезнет второе слагаемое) и затем скалярно на (исчезнет третье). Получим:
, откуда и аналогично , где векторы
(1.6в)
называются векторами взаимного базиса (или кобазиса). Таким образом,
.
Примем теперь , заменим в правой части с помощью тождества Лагранжа произведения на и умножим последнее равенство скалярно на . Полученное выражение – разложение определителя (1.6б) по третьей строке.
Если основной базис ортонормированный, то взаимный базис совпадает с основным, и только в этом случае координаты вектора совпадают с его проекциями на оси, задаваемые векторами базиса.
Формулы (1.6в) являются решениями системы уравнений , из которой определяются векторы взаимного базиса. Независящий от выбора базиса вектор можно разложить как по основному базису: , так и по взаимному: . Координаты называются контрвариантными, а - ковариантными (при замене базиса они меняются по тому же закону, что и основной базис).