Примеры векторных пространств их базисов

1. Множество всех векторов, лежащих на прямой, является векторным пространством размерности 1 и обозначается символом R ⁽¹⁾. В качестве базиса можно взять любой ненулевой вектор этой прямой, так как для любого вектора этой прямой найдется единственное число х такое, что .

2. Множество всех векторов, лежащих на плоскости, является векторным пространством размерности 2 и обозначается символом R ⁽²⁾. В качестве базиса можно выбрать любые два неколлинеарные векторы этой плоскости, так как для любого вектора этой плоскости найдется единственная пара чисел х₁, х₂ такая, что

3. Множество всех векторов, лежащих в пространстве, является векторным пространством размерности 3 и обозначается символом R⁽³⁾. В качестве базиса можно взять любые три вектора , не лежащие в одной или в параллельных плоскостях, так как для любого вектора найдется единственная тройка чисел х₁, х₂, х₃ такая, что .

4. Множество всех квадратных матриц вида является векторным пространством размерности 4. В качестве базиса можно взять матрицы

В этом случае числа а, b, с, d являются координатами вектора матрицы , так как