Формула Байеса

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А. вероятность которого следовало определить, могло произойти с одним из событий образующих полную группу, при этом вероятности указанных событий были известны заранее. Предположим, проведено испытание и событие А наступило. Это может изменить вероятности гипотез.

По теореме умножения вероятностей

Откуда

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как - априорными вероятностями.

Пример. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей с первого цеха и 10 деталей со второго. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она из цеха №1?

Решение

Рассмотрим следующие события:

А = «деталь оказалась бракованной».

Гипотеза Н₁ = «деталь изготовлена в 1-м цехе»; Р(Н₁) = 2/3

Гипотеза Н₂ = «деталь изготовлена во 2-м цехе»; Р(Н₂) = 1/3

Условные вероятности события А: P(A/Н₁)= 0,05; P(A/Н₂)= 0,04

Требуется найти вероятность первой гипотезы в предположении, что событие А уже произошло:

P(H₁/А) -?

Используем формулу вероятности гипотез Бейеса, подставив в знаменатель формулу полной вероятности: