double arrow

Теорема (умножения вероятностей)


Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Также можно записать:

Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей принимает вид:

Примеры.

1. На карточках написаны буквы А А А Н Н С. Одна за другой вынимаются карточки и прикладываются друг к другу. Найти вероятность того, что получится слово АНАНАС.

Решение.

Сформулируем события:

А= «Получилось слово АНАНАС»,

А1 = «первая извлеченная буква А»

А2 = «вторая извлеченная буква Н»

А3 = «третья извлеченная буква А»

А4 = «четвертая извлеченная буква Н»

А5 = «пятая извлеченная буква А»

А6 = «шестая извлеченная буква С»,

Тогда А = А1 А2 А3 А4 А5 А6, но события Аi – зависимые события, поэтому искомую вероятность найдем по теореме об умножении вероятностей с учетом условной вероятности, т.е.

2. Отдел технического контроля проверяет стандартность по двум параметрам серии изделий. Было установлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан только первый параметр, у 6 изделий – только второй, а у 3 изделий не выдержаны оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту?

Решение.

Рассмотрим следующие события:

А= «у изделия не выдержан первый параметр»

В= «у изделия не выдержан второй параметр»

С= «изделие не удовлетворяет стандарту».

Событию А благоприятствуют 8+3=11 исходов, событию В благоприятствуют 6+3=9 исходов, событию АВ, состоящему в том, что в взятой детали не выдержаны оба параметра, благоприятствуют 3 исхода.

Тогда

3. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок – мальчик, родится второй мальчик.

Решение.

Рассмотрим следующие события:

А= «в семье один ребенок - мальчик»

В= «в семье второй ребенок - мальчик»

АВ= «в семье два мальчика»

Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик, мальчик и девочка, девочка и мальчик, девочка и девочка. Тогда


Сейчас читают про: