Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырождены.
Приведем важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.
Пример 1
Построить матрицу вращения на угол j вокруг прямой L, проходящей через точку А(а, b, с) и имеющую направляющий вектор (l, т, п). Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным:
l2 +m2+n2=1
Рис. 10
На рис. 10 схематично показано, матрицу какого преобразования требуется найти.
Решение сформулированной задачи разбивается на несколько шагов. Опишем последовательно каждый из них.
1-й шаг. Перенос на вектор -А(-а, -Ь, -с) при помощи матрицы
В результате этого переноса мы добиваемся того, чтобы прямая L проходила через начало координат.
2-й шаг. Совмещение оси аппликат с прямой L двумя поворотами вокруг оси абсцисс и оси ординат.
1-й поворот - вокруг оси абсцисс на угол y (подлежащий определению). Чтобы найти этот угол, рассмотрим ортогональную проекцию L' исходной прямой L на плоскость Х = 0 (рис.' 11).
Рис. 11
|
|
Направляющий вектор прямой L' определяется просто - он равен
(0, m, n).
Отсюда сразу же вытекает, что
cos y = n/d, sin y = m/d
где
Соответствующая матрица вращения имеет следующий вид:
Под действием преобразования, описываемого этой матрицей, координаты вектора (l, m, п) изменятся. Подсчитав их, в результате получим
(l, m, n, 1)[RX] =(l, 0, d, 1).
2-й поворот - вокруг оси ординат на угол q, определяемый соотношениями
cos q = l, sinq = -d.
Соответствующая матрица вращения записывается в следующем виде:
3-й шаг. Вращение вокруг прямой L на заданный угол j.
Так как теперь прямая L совпадает с осью аппликат, то соответствующая матрица имеет следующий вид:
4-й шаг. Поворот вокруг оси ординат на угол -q.
5-й шаг. Поворот вокруг оси абсцисс на угол -y.