Замечание. Вращение в пространстве некоммутативно

Вращение в пространстве некоммутативно. Поэтому порядок, в котором проводятся вращения, является весьма существенным.

6-й шаг. Перенос на вектор А(а, b, с). Перемножив найденные матрицы в порядке их построения, получим следующую матрицу:

[T_-A] [R_X] [R_Y] [R_Z] [R_Y]^-1 [R_X]^-1 [T_-A]^-1

Выпишем окончательный результат, считая для простоты, что ось вращения L проходит через начальную точку:

Рассматривая другие примеры подобного рода, мы будем получать в результате невырожденные матрицы вида

При помощи таких матриц можно преобразовывать любые плоские и пространственные фигуры.

Пример 2

Требуется подвергнуть заданному аффинному преобразованию выпуклый многогранник (Рис. 12).

Рис. 12.

Для этого сначала по геометрическому описанию отображения находим его матрицу [А]. Замечая далее, что произвольный выпуклый многогранник однозначно задается набором всех своих вершин

V_i(x_i, y_i, z_i,), i = 1,…., n,

строим матрицу

Подвергая этот набор преобразованию, описываемому найденной невырожденной матрицей четвертого порядка, [V][A], мы получаем набор вершин нового выпуклого многогранника – образа исходного (рис. 12).

матрица сдвига имеет вид:

Матрица обратного преобразования для сдвига получается путем смены знака у Tx, Ty и Tz.

Матрица масштабирования относительно центра координат имеет вид:

Матрица обратного преобразования для масштабирования формируется при замене Dx, Dy и Dz на величины, обратные к ним.