Область изменения параметра t и расположение на ней точек, соответствующих стыковочным узлам, могут быть совершенно произвольными. Наиболее простой является равномерная параметризация, с равноотстоящими целочисленными узлами.
Указанная выше составная В-сплайновая кубическая кривая является С2-гладкой кривой и лежит в объединении m-2 выпуклых оболочек, порожденных последовательными четверками точек заданного набора. Добавляя в исходный набор дополнительные точки, можно получать составную В-сплайновую кубическую кривую с разными свойствами.
Например, при добавлении к заданному набору двух точек
V-1 = (V0 - V1) + V0, Vm-1 = (Vm - Vm-1) + Vm
и соответствующем расширении отрезка изменения параметра до [0, m] получим составную В-сплайновую кубическую кривую, которая будет начинаться в точке V0, касаясь отрезка V0V1, и заканчиваться в точке Vm, касаясь отрезка Vm-1 Vm.
А для того, чтобы по заданному массиву построить С2-гладкую замкнутую В-сплайновую кривую, достаточно выбрать три дополнительные точки
|
|
Vm+1 = V0, Vm+2 = V1, Vm+3 = V3 и рассмотреть набор V0,Vl, „...,Vm+3
Перейдем к случаю, когда узлы расположены на отрезке изменения параметра t неравномерно.
Заменим в векторном уравнении (2) многочлены Бернштейна на В-сплайны (базовые (base) сплайны), введя новые функциональные коэффициенты при помощи рекуррентных формул.
Пусть 0 = t0 < t1 <... < tm-1 < tm = 1 -' разбиение отрезка [0, 1].
Положим
Nil(t) = l, tÎ[ti.ti+1],
Nil(t) = 0, t [ti, ti+1]
и далее (рис. 14)
Заметим, что с увеличением индекса q степень многочленов, определяющих вводимые функции Niq(t),-растет: для функций на I., отрезке ti, li+q] она равна q-1.
Отметим еще некоторые очевидные свойства этих функций:
Ni,q(t) > 0 на интервале (ti, ti+q);
• Ni,q(t)=0 вне интервала (ti, ti+q);
• на всей области задания функция Ni,q(t), q ³ 3, имеет непрерывные производные до порядка q-2 включительно.
Кроме того, для введенных функций сохраняется равенство
Это означает, что кривая, заданная векторным уравнением
r(t) = Vi
всегда принадлежит выпуклой оболочке вершин заданного массива.