Уравнения прямой и плоскости

Основное уравнение плоскости:

Ах + Ву +Сz + D=0,

где А, В, С, D – постоянные, причем А, В, С одновременно не равны нулю.

Уравнение плоскости в векторной форме:

(r, N) +D =0,

где r – радиус вектор точки M(x,y,z) – принадлежащей плоскости, вектор N =(A,B,C) перпендикулярен плоскости(нормальный вектор)

Уравнение плоскости в отрезках (отсекаемых плоскостью на осях Ox, Оy, Оz)

x/a + y/b + z/c =1

Уравнение прямой в векторной форме:

r = r0 + a*t,

где r0(x0,y0,z0) – точка через которую проходит прямая,

a(l,m,n) – направляющий вектор прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

(x-x0)/m =(y-y0)/n=(z-z0)/p

Уравнение прямой по двум точкам r0(x0,y0,z0) и r1(x1,y1,z1):

(x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y-y1)=(z-z0)/(z-z1)

Анализ взаимного расположения плоскости и прямой.

Прямая может принадлежать плоскости, быть ей параллельной или пересекать ее.

Для того, чтобы проверить принадлежит ли прямая плоскости, нам надо взять две точки на прямой и проверить, принадлежат подходят ли они в уравнение плоскости. Если да – то прямая принадлежит плоскости, в противном случае, нам надо постараться найти точку пересечения прямой и плоскости P (или определить, что они параллельны)

Зная уравнение плоскости, мы можем взять любые три точки A, B, C принадлежащие ей, не находящиеся на одной прямой. Возьмем любые не равные друг другу точки O, K, принадлежащие прямой.

Проверка пеерсекает ли пямая плоскость осуществляется через скаляроное произведение нормали к плоскости N и направляющего вектора вдоль прямой Rd. Склярное произведение этих двух нормализованных векторов есть косинус угла между векторами (cos (alpha) = (Rd,N))

Далее приведены сами формулы требующиеся для рассчета:

(примечание, векторы обозначены большими буквами (или начинаются с большой буквы), скаляры - маленькими, векторное произведение векторов так: [ AB, BC ], скалярное произведение так: (AB, AC); модуль вектора-корень из суммы квадратов комтонетов-обозначен так | N |)

Найти два вектора лежащие в плоскости треугольника:

АВ=В-А;

AC=C-A;

найти нормаль треугольников и нормализировать ее

N=[AB,AC];

N=N / | N |;

найти вектор вдоль прямой и нормализовать его:

Rd=K-O;

Rd=Rd / | Rd |;

найти косинус угла между нормалью треугольника и прямой

cos(alpha) = (Rd, N);

Далее проверяем, если модуль косинус альфа >0.0001 значит есть пересечение с плоскостью, если модуль косинус альфа <=0.0001 - считаем, что прямая параллельна плоскости. Если она параллельна, на этом расчет заканчивается, если пересечение есть - то найдем точку пересечения P в несколько шагов:

OA=A-O;

s = (OA, N);

t = s / cos (alpha);

P= O + t * Rd;