Теорема 2

Если функции и имеют производные во всех точках интервала , то для любого .

Доказательство: рассмотрим функцию , где и найдем производную этой функции, с помощью определения. Пусть – произвольная точка интервала . Тогда

Итак, .

Так как – произвольная точка интервала , то имеем

.

Примеры:

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Доказательство: Применим теорему о производной произведения:

.

Примеры:

;

Теорема 3:

Если функции и имеют производные во всех точках интервала , причем для любого , то для любого .

Доказательство: Рассмотрим функцию , где и найдем ее производную, пользуясь определением. Пусть – произвольная точка интервала . Тогда

.

Следовательно,

.

А так как – произвольная точка интервала , то имеем .

Примеры: