Теорема

Если функция дифференцируема по , а функция дифференцируема по , то производная сложной функции по независимой переменной определяется равенством: .

Доказательство: Пусть дана дифференцируемая функция , которая является сложной и имеет промежуточный аргумент зависящий от .

По определению производной можем записать . Умножив числитель и знаменатель функции, содержащейся под знаком предела, на приращения промежуточного аргумента , получим:

то есть

производная сложной функции по аргументу равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную внутренней функции по основному аргументу .

Это правило иногда называют правилом цепочки: то есть производная сложной функции равна произведению производных от всех составляющих ее функций. При этом следует помнить, что каждую функцию нужно дифференцировать по ее собственному аргументу.

Пример: Найти производную функции: .

Решение: Эта функция сложная, то есть .

Согласно правилу дифференцирования сложной функции получим: .