I Производная логарифмической функции

Вначале выведем формулу дифференцирования функции , где .

Найдем производную с помощью определения:

Теперь функцию, содержащуюся под знаком предела, умножим и разделим на (это можно сделать, так как ), а затем воспользуемся свойством логарифмов: , получим

так как

Итак получили, что

. (1)

Выведем теперь формулу дифференцирования сложной функции, то есть функции , где . Для этого используем формулу дифференцирования сложной функции , получим:

то есть

. (1’)

Пример: Найти производные следующих функций:

Решение:

Первый способ:

;

Второй способ:

Вначале преобразуем функцию с помощью свойств логарифмов:

.

А теперь найдем производную:

;

Найдем теперь производную функции , где

Для того, чтобы найти производную функции , воспользуемся формулой перехода от логарифма с одним основанием, к логарифму с другим основанием: , где и перейдем от логарифма с основанием a к логарифму с основанием e, получим:

А теперь найдем производную функции :

Получим, что

. (2)

Теперь найдем производную сложной функции . Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, получим:

, то есть

. (2’)

Пример: Найти производные следующих функций:

Решение:

Замечание: При нахождении производной логарифмической функции иногда проще вначале преобразовать функцию, пользуясь свойствами логарифма, а только затем находить производную. Поэтому напоминаем основные свойства логарифмической функции:

1)

2)

3)

4)

Пример: Найти производную функции: .

Решение: Вначале преобразуем функцию:

А теперь найдем производную: