2015-05-30
406
Первый вариант этой теоремы был доказан в 1912 г. А.М.Ляпуновым. В настоящее время имеется несколько формулировок этой теоремы, различающихся условиями, которые накладываются на случайные величины. Мы приведём простейший вариант центральной предельной теоремы для одинаково распределённых независимых случайных величин.
Пусть 
последовательность одинаково распределённых случайных величин с математическими ожиданиями 
и дисперсиями 
.
ТЕОРЕМА. Если случайные величины 
независимы и 
, то при достаточно большом n закон распределения суммы 
будет сколь угодно близок к нормальному закону распределения 
.
Так как в условиях теоремы случайные величины независимы, то
т.е. в условиях теоремы сумма 
имеет закон распределения близкий к .Так' как na и 
с ростом п, возрастают, то удобнее рассматривать не просто суммы 
, а нормированные суммы 
. Такие суммы при 
имеют закон распределения 
.
Мы не приводим доказательства теоремы потому, что оно требует введения многих дополнительных понятий и утверждений. Было потрачено немало усилий, чтобы ослабить условия, налагаемые на случайные величины в центральной предельной теореме. В частности, оказалось, что утверждение теоремы остаётся в силе и для слабо зависимых случайных величин. Как уже отмечалось, существует много вариантов и соответственно формулировок центральной предельной теоремы, но во всех этих вариантах суть условий одна: Если случайная величина может быть представлена в виде суммы большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, каждая из которых мала по сравнению с суммой, то эта сумма имеет закон распределения близкий к нормальному.
|
|
|
