Глава 6 Функции спроса

СПРОС

В предыдущей главе мы показали в основных чертах модель потребительского выбора: каким образом максимизация полезности при данном бюджетном ограничении порождает оптимальный выбор. Мы увидели, что оптимальный выбор потребителя зависит от его дохода и от товарных цен, и рассмотрели ряд примеров, чтобы выяснить, каков оптимальный выбор для некоторых простых типов предпочтений.

Функции спроса потребителя представляют оптимальные количества каждого из товаров как функцию цен и дохода, заданных потребителю. Запишем функции спроса в виде

х ₁ = х ₁ (p ₁, p ₂, m),

x ₂ = x ₂ (p ₁, p ₂, m).

Левая часть каждого уравнения показывает количество (величину) спроса. Правые части —функции, связывающие это количество с ценами и доходом.

В данной главе мы исследуем, как изменяется спрос на товар по мере изменения цен и дохода. Изучение реакции потребительского выбора на изменения в экономической среде известно как сравнительная статика, впервые описанная нами в гл. 1. "Сравнительная" означает, что мы хотим сравнить две ситуации: до и после изменений в экономической среде, "статика" — что нас не интересуют никакие процессы установления равновесия, которые могли бы быть связаны с переходом от одного потребительского выбора к другому; мы будем, напротив, исследовать лишь выбор в положении равновесия.

В случае с потребителем в нашей модели имеются только два фактора, оказывающих воздействие на оптимальный выбор: цены и доход. Поэтому круг вопросов, относящихся в теории поведения потребителя к сравнительной статике, включает исследование изменений в спросе при изменениях цен и дохода.

6.1. Нормальные товары и товары низшей категории

Начнем с рассмотрения того, как меняется спрос потребителя на товар по мере изменения его дохода. Мы будем сравнивать оптимальный выбор при одном уровне дохода с оптимальным выбором при другом уровне дохода. При этом будем считать цены постоянными, изучая лишь те изменения в спросе, которые вызываются изменением дохода.

Нам известно, каким образом воздействует рост денежного дохода на бюджетную линию при постоянных ценах — он вызывает ее параллельный сдвиг наружу. Как же этот сдвиг отразится на спросе?

Нормально было бы полагать, что, как показано на рис. 6.1, спрос на товар с ростом дохода должен увеличиваться. Экономисты, отнюдь не отличаясь богатым воображением, называют такие товары нормальными. Если товар 1 — нормальный товар, то спрос на него увеличивается с ростом дохода и уменьшается с сокращением дохода. Для нормального товара величина спроса всегда изменяется в том же направлении, что и доход:

.

Если что-либо названо нормальным, то можно быть уверенным, что возможно и существование ненормального. Так оно и есть. На рис. 6.2 показан пример с симпатичными стандартными кривыми безразличия, в котором рост дохода приводит к сокращению потребления одного из товаров. Такой товар называют товаром низшей категории. Может быть, это и "ненормально", но, если поразмыслить, товары низшей категории не так уж необычны. Существует много товаров, спрос на которые уменьшается с ростом дохода; к их числу можно отнести овсяную кашу, дешевую колбасу, фрукты-падалицу или практически любой другой низкокачественный товар.

Причисляется ли данный товар к товарам низшей категории, зависит от рассматриваемого нами уровня дохода. Вполне может оказаться, что очень бедные люди по мере роста дохода будут потреблять больше дешевой колбасы. Но по достижении определенного уровня дохода потребление дешевой колбасы при продолжающемся росте дохода, возможно, начнет сокращаться. Поскольку в реальной жизни потребление товаров при росте дохода может и увеличиваться, и уменьшаться, утешительно знать, что экономическая теория учитывает обе эти возможности.

Нормальные товары. Спрос на оба товара с ростом дохода увеличивается, так что оба товара нормальные.

Рис. 6.1

6.2. Кривые "доход — потребление" и кривые Энгеля

Мы видели, что рост дохода соответствует параллельному сдвигу бюджетной линии наружу. Можем соединить между собой наборы спроса, получаемые при таком сдвиге бюджетной линии, построив тем самым кривую "доход — потребление ". Эта кривая, как видно на рис. 6.3, показывает товарные наборы, на которые предъявляется спрос при различных уровнях дохода. Кривую "доход — потребление" называют также "путем расширения дохода". Если оба товара — нормальные, кривая "доход — потребление" будет иметь положительный наклон, как показано на рис. 6.3A.

Для каждого уровня дохода m существует некий оптимальный выбор по каждому из товаров. Сосредоточим внимание на товаре 1, рассматривая оптимальный выбор при каждой комбинации цен и дохода х ₁(p ₁, p ₂, m). Это не что иное, как функция спроса на товар 1. Если, считая цены на товары 1 и 2 постоянными, проследить изменения в спросе по мере изменения дохода, то мы построим кривую, известную как кривая Энгеля. Кривая Энгеля — это график спроса на один из товаров, представленного как функция дохода, при предпосылке о неизменности всех цен. Пример кривой Энгеля показан на рис. 6.3B.

Рис. 6.2

Товар низшей категории. Товар 1 является товаром низшей категории; это означает, что при росте дохода спрос на него уменьшается.

A Кривая "доход — потребление" B Кривая Энгеля

Рис. 6.3

Изменения спроса по мере изменений дохода. Кривая "доход — потребление" (или "путь расширения дохода"), показанная на рис.A, изображает оптимальный выбор при различных уровнях дохода и постоянных ценах. Если же нанести на график точки оптимального выбора товара 1 при разных уровнях дохода, получим кривую Энгеля, изображенную на рис.B.

6.3. Некоторые примеры

Посмотрим, как выглядят кривые "доход — потребление" и кривые Энгеля в случае некоторых предпочтений, изученных нами в гл. 5.

Совершенные субституты

Случай совершенных субститутов представлен на рис.6.4. Если p ₁ < p ₂, так что потребляется только товар 1, то потребитель с ростом дохода будет увеличивать потребление товара 1. Следовательно, кривая "доход — потребление" сольется с горизонтальной осью, как показано на рис.6.4A.

A Кривая "доход — потребление" B Кривая Энгеля

Совершенные субституты. Кривая "доход — потребление" (A) и кривая Энгеля (B) в случае совершенных субститутов.

Рис. 6.4

Поскольку спрос на товар 1 в этом случае есть х ₁= m / p ₁, кривая Энгеля, как показано на рис.6.4B, будет прямой линией с наклоном р ₁. (Так как m откладывается по вертикальной оси, а х ₁ по горизонтальной, можно записать m = p ₁ x ₁, откуда ясно, что наклон есть р ₁).

Совершенные комплементы

Поведение в отношении спроса на совершенные комплементы показано на рис.6.5. Поскольку потребитель, независимо ни от чего, все время потребляет одно и то же количество каждого товара, кривая "доход — потребление" является в данном случае лучом из начала координат, как видно на рис.6.5A. Мы видели, что спрос на товар 1 есть x ₁ = m /(p ₁ + p ₂), поэтому кривая Энгеля, как показано на рис.6.5B, представляет собой прямую с наклоном p ₁ + p ₂.

A Кривая "доход — потребление" B Кривая Энгеля

Рис. 6.5

Совершенные комплементы. Кривая "доход — потребление" (A) и кривая Энгеля (B) в случае совершенных комплементов.

Предпочтения Кобба — Дугласа

В случае предпочтений Кобба — Дугласа вид интересующих нас графиков проще представить исходя из алгебраического вида функций спроса. Если u (x ₁, x ₂) = , функция спроса Кобба — Дугласа на товар 1 имеет вид x ₁ = am / p ₁. Для постоянного значения p ₁ это будет линейная функция дохода m. Таким образом, удвоение m повлечет за собой удвоение спроса, утроение m утроит спрос и т.д. Фактически умножение m на любое положительное число t будет иметь результатом просто умножение спроса на ту же самую величину.

Функция спроса на товар 2 есть x ₂ = (1 — a) m / p ₂, и она также явно линейна. Тот факт, что функции спроса на оба товара — линейные функции дохода, означает, что кривые "доход — потребление" в данном случае, как показано на рис.6.6A, являются лучами из начала координат. Кривая Энгеля для товара 1 будет представлять собой, как показано на рис.6.6B, прямую с наклоном p ₁/ a.

Гомотетичные предпочтения

Все рассмотренные нами до сих пор кривые "доход — потребление" и кривые Энгеля имели достаточно простой вид — фактически они являлись прямыми линиями! Это объяснялось чрезвычайной простотой взятых примеров. Реальные кривые Энгеля вовсе не обязательно должны быть прямыми линиями. Вообще при росте дохода спрос на товар может увеличиваться и быстрее, и медленнее, чем растет доход. Если спрос на товар растет в большей степени, чем доход, мы говорим, что этот товар — предмет роскоши, а если в меньшей — что этот товар — необходимое благо.

Пограничным является случай, когда спрос на товар растет в той же пропорции, что и доход. Именно это имело место в трех рассмотренных выше случаях. Какая же характеристика предпочтений потребителя обусловливает подобное поведение?

A Кривая "доход — потребление" B Кривая Энгеля

Предпочтения Кобба — Дугласа. Кривая "доход — потребление" (A) и кривая Энгеля (B) для функции полезности Кобба — Дугласа.

Рис. 6.6

Предположим, что предпочтения потребителя зависят только от отношения количества товара 1 к количеству товара 2. Это означает, что если потребитель предпочитает набор (x ₁, x ₂) набору (y ₁, y ₂), он автоматически предпочитает набор (2 x ₁, 2 x ₂) набору (2 y ₁, 2 y ₂), набор (3 x ₁, 3 x ₂) набору (3 y ₁, 3 y ₂) и т.д., поскольку во всех этих наборах отношение товара 1 к товару 2 одинаково. Фактически при любом положительном значении t потребитель предпочитает набор (tx ₁, tx ₂) набору (ty ₁, ty ₂). Предпочтения, обладающие этим свойством, именуются гомотетичными предпочтениями. Нетрудно показать, что все предпочтения, рассмотренные в трех приведенных выше примерах, — совершенные субституты, совершенные комплементы и предпочтения Кобба — Дугласа — являются гомотетичными.

Если предпочтения потребителя гомотетичны, то кривые "доход — по-требление", как показано на рис. 6.7, всегда представляют собой лучи из начала координат.

Выражаясь более точно, если предпочтения гомотетичны, то это означает, что при увеличении или уменьшении дохода в t раз, где t — любая t > 0, величина спроса на товары, входящие в набор спроса, изменяется во столько же раз. Можно это доказать строго, но это достаточно ясно и при взгляде на рисунок. Если кривая безразличия касается бюджетной линии в точке (, ), то кривая безразличия, проходящая через точку (t , t ), касается бюджетной линии с теми же ценами и в t раз большим доходом. Это означает вдобавок, что кривые Энгеля — прямые линии. Удваивая доход, мы просто удваиваем спрос на каждый товар.

A Кривая "доход — потребление" B Кривая Энгеля

Рис. 6.7

Гомотетичные предпочтения. Кривая "доход — потребление" (A) и кривая Энгеля (B) в случае гомотетичных предпочтений.

Вследствие такой простоты эффектов дохода гомотетичные предпочтения весьма удобны для рассмотрения. К сожалению, по той же самой причине гомотетичные предпочтения не очень-то реалистичны! Но мы часто будем использовать их в примерах.

Квазилинейные предпочтения

Другой вид предпочтений, обусловливающий особую форму кривых "до-ход — потребление" и кривых Энгеля, — квазилинейные предпочтения. Вспомним определение квазилинейных предпочтений, данное в гл. 4. Это такой случай, когда все кривые безразличия являются "сдвигами" одной и той же кривой безразличия, как на рис. 6.8. Соответственно функция полезности для этих предпочтений принимает вид u (x ₁, x ₂) = v (x ₁) + x ₂. Что произойдет, если сместить бюджетную линию наружу? В этом случае, если кривая безразличия касается бюджетной линии в точке, соответствующей набору (, ), то другая кривая безразличия должна касаться бюджетной линии в точке (, + k) при любом постоянном k. Рост дохода совершенно не изменяет спроса на товар 1, и весь добавочный доход идет на потребление товара 2. В случае квазилинейных предпочтений иногда говорят о "нулевом эффекте дохода" по товару 1. Следовательно, кривая Энгеля для товара 1 есть вертикальная линия — при изменении дохода спрос на товар 1 остается постоянным.

A Кривая "доход — потребление" B Кривая Энгеля

Квазилинейные предпочтения. Кривая "доход — потребление" (A) и кривая Энгеля (B) при квазилинейных предпочтениях.

Рис. 6.8

В какой реальной жизненной ситуации могло бы произойти подобное? Предположим, что товар 1 — карандаши, а товар 2 — деньги, расходуемые на все остальные товары. Пусть поначалу я трачу свой доход исключительно на карандаши, но когда этот доход станет достаточно большим, я перестаю покупать дополнительные карандаши и трачу весь добавочный доход на остальные товары. Другими примерами такого рода могли бы стать примеры с солью или с зубной пастой. Предположение о квазилинейности предпочтений вполне приемлемо, когда речь идет о выборе между каким-то отдельным товаром, на который приходится небольшая доля бюджета потребителя, и всеми остальными товарами — по крайней мере в ситуации, когда доход потребителя достаточно велик.

6.4. Обычные товары и товары Гиффена

Теперь перейдем к рассмотрению изменений цен. Предположим, что мы снижаем цену товара 1, считая при этом цену товара 2 и доход постоянными. Что может произойти в этом случае с количеством спроса на товар 1? Интуиция подсказывает нам, что количество спроса на товар 1 со снижением его цены должно возрастать. В самом деле, таков обычный случай, представленный на рис. 6.9.

Рис. 6.9

Обычный товар. Обычно, как в представленном здесь случае, спрос на товар со снижением его цены увеличивается.

При снижении цены товара 1 бюджетная линия становится более пологой. Или, другими словами, точка ее пересечения с вертикальной осью остается той же самой, а точка пересечения с горизонтальной осью сдвигается вправо. На рис.6.9 точка оптимального выбора товара 1 также сдвигается вправо: количество спроса на товар 1 возросло. Однако возникает вопрос, всегда ли это должно быть так? Всегда ли дело должно обстоять таким образом, что, вне зависимости от характера предпочтений потребителя, спрос на товар должен возрастать при снижении его цены?

Оказывается, нет. Логически возможно найти такие стандартного вида предпочтения, при которых снижение цены товара 1 ведет к сокращению спроса на него. Такой товар назван товаром Гиффена, в честь экономиста XIX в., первым заметившего подобную возможность. Пример с товаром Гиффена проиллюстрирован рис. 6.10.

Каков экономический смысл того, что происходит в подобном случае? Какого рода предпочтения могли бы породить специфическое поведение, изображенное на рис.6.10? Предположим, что вы потребляете два товара — овсяную кашу и молоко — и что в настоящее время вы потребляете 7 тарелок каши и 7 чашек молока в неделю. Пусть теперь цена каши снижается. Если вы по-прежнему будете потреблять 7 тарелок каши в неделю, то у вас останутся деньги на покупку большего количества молока. В действительности, сэкономив деньги вследствие более низкой цены каши, вы можете решить даже увеличить потребление молока и сократить потребление каши. Снижение цены каши высвободило некую дополнительную сумму денег, которую можно потратить на покупку других товаров, но, как следствие этого, у вас могло бы возникнуть желание сократить потребление каши! Следовательно, изменение цены до некоторой степени подобно изменению дохода. Хотя денежный доход остается постоянным, изменение цены товара приводит к изменению покупательной способности и, вследствие этого, к изменению спроса.

Товар Гиффена. Товар 1 есть товар Гиффена, поскольку спрос на него со снижением цены уменьшается.

Рис. 6.10

Итак, в чисто логическом плане товар Гиффена не является неприемлемым, хотя встреча с товарами Гиффена в реальной жизни и маловероятна. Большинство товаров — это обычные товары, спрос на которые падает с ростом их цены. Почему обычное положение дел именно таково, мы увидим несколько позже.

Между прочим, мы не случайно использовали овсяную кашу в качестве примера как товара низшей категории, так и товара Гиффена. Оказывается, между двумя указанными видами товаров существует тесная связь, которую мы рассмотрим в следующей главе.

Пока же в ходе нашего исследования теории потребительского выбора может сложиться впечатление, что произойти может почти все, что угодно: и при росте дохода, и при росте цены спрос на товар может как увеличиваться, так и уменьшаться. Совместима ли теория потребительского выбора с любым поведением? Или же существуют какие-то типы поведения, которые экономическая модель поведения потребителей исключает? Оказывается, модель максимизации полезности действительно накладывает на поведение потребителя ограничения. Однако каковы они, мы увидим лишь в следующей главе.

6.5 Кривая "цена — потребление" и кривая спроса

Предположим, что мы изменяем цену товара 1, считая p ₂ и доход постоянными. Геометрически это подразумевает поворот бюджетной линии. Можно соединить между собой точки оптимального выбора, построив тем самым кривую "цена — потребление ", подобную изображенной на рис. 6.11A. Эта кривая представляет собой совокупность наборов, на которые предъявляется спрос при различных ценах товара 1.

Ту же самую информацию можно представить по-другому. По-прежнему будем считать цену товара 2 и денежный доход постоянными и для каждого значения p ₁ графически отобразим оптимальный объем потребления товара 1. Результатом явится кривая спроса, изображенная на рис.6.11B. Кривая спроса — это график функции спроса, x ₁(p ₁, p ₂, m) при некоторых заданных значениях р ₂ и m.

Обычно при росте цены товара спрос на данный товар снижается. Таким образом, цена товара и количество спроса на него движутся в противоположных направлениях, а это означает, что, как правило, кривая спроса имеет отрицательный наклон. Выразив это через отношение изменений, получим

,

что просто говорит о том, что наклон кривых спроса обычно отрицателен.

Однако, как мы видели, в случае товара Гиффена спрос на товар при снижении его цены может и уменьшаться. Следовательно, возможно, хотя и маловероятно, существование кривой спроса с положительным наклоном.

A Кривая "цена — потребление" B Кривая спроса

Кривая "доход — потребление" и кривая спроса. На рис.A изображена кривая "цена — потребление", представляющая собой совокупность точек оптимального выбора при изменении цены товара 1. На рис. B изображена связанная с ней кривая спроса, графически представляющая оптимальный выбор товара 1 как функцию его цены.

Рис. 6.11

6.6. Некоторые примеры

Рассмотрим некоторые примеры кривых спроса, используя предпочтения, о которых шла речь в гл. 3.

Совершенные субституты

Кривая "цена — потребление" и кривая спроса для совершенных субститутов (вспомним пример с красными и синими карандашами) изображены на рис.6.12. Как мы видели в гл. 5, спрос на товар 1 равен нулю, когда p ₁ > p ₂; любому количеству этого товара, удовлетворяющему заданному бюджетному ограничению, когда p ₁ = p ₂, и равен m / p ₁, когда p ₁ < p ₂. Кривая "цена — потреб-ление" описывает все эти случаи.

Чтобы найти кривую спроса, зафиксируем цену товара 2 на уровне некой цены и построим график спроса на товар 1 в зависимости от изменения цены товара 1. Получим при этом форму графика, представленную на рис.6.12.

Совершенные комплементы

Случай совершенных комплементов (вспомним пример с правым и левым ботинками) изображен на рис. 6.13. Нам известно, что каковы бы ни были цены, потребитель будет предъявлять спрос на одинаковое количество товаров 1 и 2. Таким образом, его кривая "цена — потребление" окажется лучом из начала координат, как показано на рис.6.13A.

Как мы видели в гл. 5, спрос на товар 1 задан в виде

.

Если считать m и p ₂ неизменными и отобразить графически зависимость между x ₁ и p ₁, то мы получим кривую, изображенную на рис. 6.13B.

A Кривая "цена — потребление" B Кривая спроса

Рис. 6.12

Совершенные субституты. Кривая "цена — потребление" (A) и кривая спроса (B) в случае совершенных субститутов.

A Кривая "цена — потребление" B Кривая спроса

Рис. 6.13

Совершенные комплементы. Кривая "цена — потребление" (A) и кривая спроса (B) в случае совершенных комплементов.

Дискретный товар

Предположим, что товар 1 — дискретный товар. Если p ₁ очень высока, потребитель явно предпочтет не потреблять ни одной единицы этого товара; если p ₁ достаточно низка, потребитель предпочтет потреблять ровно одну единицу товара. При некоторой цене r ₁ потребителю будет безразлично, потреблять товар 1 или нет. Цена, при которой потребителю все равно, потреблять товар или нет, называется резервной ценой [5]. Кривые безразличия и кривая спроса представлены на рис. 6.14.

A Оптимальные наборы при различных ценах B Кривая спроса

Дискретный товар. По мере снижения цены товара 1 будет достигнут уровень некой цены, именуемой резервной, при которой потребителю безразлично, потреблять товар 1 или нет. При дальнейшем снижении цены будет предъявляться спрос на большее число единиц дискретного товара.

Рис. 6.14

Из графика ясно, что поведение в отношении спроса в данном случае может быть описано рядом резервных цен, по которым потребитель готов купить еще одну единицу товара. По цене r ₁потребитель готов купить одну единицу товара; если цена снизится до r ₂, то он готов купить еще одну единицу и т.д.

Эти цены могут быть описаны на языке исходной функции полезности. Например, r ₁ — это цена, при которой потребителю совершенно безразлично, потреблять ли 0 или 1 единицу товара 1, поэтому она должна удовлетворять уравнению

u (0, m) = u (1, m — r ₁). (6.1)

Аналогично r ₂ удовлетворяет уравнению

u (1, m — r ₂) = u (2, m — 2 r ₂). (6.2)

Левая часть данного уравнения представляет собой полезность, получаемую от потребления одной единицы товара по цене r ₂. Правая часть уравнения есть полезность, получаемая от потребления двух единиц товара, каждая из которых продается по цене r ₂.

Если функция полезности квазилинейна, формулы, описывающие резервные цены, несколько упрощаются. Если u (x ₁, x ₂) = v (x ₁) x ₂ и v (0) = 0, можно переписать уравнение (6.1) в виде

v (0) + m = m = v (1) + m — r ₁.

Поскольку v (0) = 0, можно выразить из него r ₁, получив

r ₁ = v (1). (6.3)

Аналогично можно переписать уравнение (6.2) в виде

v (1) + m — r ₂ = v (2) + m — 2 r ₂.

После приведения подобных членов и перестановки членов данное выражение принимает вид

r ₂ = v (2) — v (1).

Действуя таким же образом, получим для резервной цены третьей единицы потребления следующее выражение

r ₃ = v (3) — v (2)

и так далее.

В каждом случае резервная цена показывает прирост полезности, необходимый для того, чтобы побудить потребителя купить дополнительную единицу товара. Говоря неформально, резервные цены измеряют предельные полезности, связанные с разными уровнями потребления товара 1. Принятая нами предпосылка об убывании предельной полезности подразумевает убывание значений в ряду резервных цен: r ₁ > r ₂ > r ₃...

Ввиду особой структуры квазилинейной функции полезности резервные цены не зависят от имеющегося у потребителя количества товара 2. Безусловно, данный случай — особый, но он очень облегчает описание поведения потребителя. Если задана любая цена p, мы просто находим ее место в ряду резервных цен. Предположим, например, что p попадает между r ₆ и r ₇. Тот факт, что r ₆ > p, означает, что потребитель готов отказаться от p на купленную единицу товара, чтобы получить 6 единиц товара 1, а тот факт, что p > r ₇, означает, что потребитель не готов отказаться от p долларов на единицу, чтобы получить седьмую единицу товара 1.

Эти доводы совершенно интуитивны. Обратимся теперь к математике, чтобы убедиться, что это понятно. Предположим, что спрос потребителя на товар 1 составляет 6 единиц. Мы хотим показать, что в этом случае должно соблюдаться условие

r ₆ ³ p ³ r ₇.

Если потребитель максимизирует полезность, то для всех возможных случаев выбора должно быть справедливо

v (6) + m — 6 p ³ v (x ₁) + m — px ₁.

В частности, должно соблюдаться неравенство:

v (6) + m — 6 p ³ v (5) + m — 5 p.

Преобразовав данное уравнение, получаем

r ₆ = u (6) — u (5) ³ p,

что дает нам половину искомого неравенства.

Если следовать той же логике, должно соблюдаться

v (6) + m — 6 p ³ v (7) + m — 7 p.

Преобразование этого выражения дает нам

p ³ v (7) — v (6) = r ₇,

что представляет собой вторую половину неравенства, справедливость которого мы хотим обосновать.

6.7. Субституты и комплементы

Мы уже пользовались понятиями "субституты" и "комплементы", однако теперь пора их формально определить. Поскольку случаи совершенных субститутов и совершенных комплементов мы уже несколько раз рассматривали, представляется разумным рассмотреть случай несовершенных субститутов и комплементов.

Сначала порассуждаем о субститутах. Как мы говорили, красные и синие карандаши можно рассматривать в качестве совершенных субститутов по крайней мере для того, кому безразличен цвет карандашей. Но что можно сказать о карандашах и ручках? Это случай "несовершенных" субститутов. Другими словами, ручки и карандаши в какой-то степени служат заменителями друг для друга, хотя они и не столь совершенные взаимные заменители, как красные и синие карандаши.

Аналогично, мы говорили, что правые и левые ботинки — это совершенные комплементы. Но что можно сказать о паре ботинок и паре носков? Правые и левые ботинки почти всегда потребляются вместе, ботинки же и носки обычно потребляются вместе. Взаимодополняющие товары — это такие товары, которые, подобно ботинкам и носкам, потребляются вместе обычно, хотя и не всегда.

Теперь, когда основная идея понятий "субституты" и "комплементы" разъяснена, можно дать им точное экономическое определение. Вспомним, что функция спроса на товар 1, скажем, обычно выступает функцией цены и товара 1, и товара 2, так что мы записываем ее как х ₁(p ₁, p ₂, m). Можно задать вопрос: как изменяется спрос на товар 1 по мере изменения цены товара 2 — растет он или снижается?

Если спрос на товар 1 с ростом цены товара 2 увеличивается, мы говорим, что товар 1 выступает субститутом по отношению к товару 2. Выражая сказанное через отношение изменений, можно утверждать, что товар 1 является субститутом товара 2, если

.

Идея состоит в том, что когда товар 2 становится дороже, потребитель переключается на потребление товара 1: потребитель замещает более дорогой товар более дешевым.

С другой стороны, если спрос на товар 1 с ростом цены товара 2 уменьшается, мы говорим, что товар 1 выступает комплементом по отношению к товару 2. Это означает, что

.

Комплементы — это товары, которые, подобно кофе и сахару, потребляются вместе, так что когда цена одного из товаров растет, потребление обоих товаров имеет тенденцию снижаться.

Случаи совершенных субститутов и совершенных комплементов прекрасно иллюстрируют сказанное. Обратите внимание на то, что в случае совершенных субститутов положительно (или равно нулю), а в случае совершенных комплементов — отрицательно.

Следует сделать два предостережения в отношении применения этих понятий. Во-первых, когда дело касается комплементов и субститутов, случай двух товаров оказывается весьма специфичным. Поскольку доход фиксирован, тратя больше денег на товар 1, вы должны тратить меньше на товар 2. Это накладывает некоторые ограничения на возможный характер поведения потребителей. Когда имеется более двух товаров, эти ограничения не составляют большой проблемы.

Во-вторых, хотя с точки зрения основной модели потребительского выбора определение понятий "субституты" и "комплементы" и представляется разумным, в более общем контексте эти определения порождают некоторые трудности. Например, если применять приведенные выше определения при рассмотрении более чем двух товаров, то вполне возможно, что товар 1 окажется для товара 3 субститутом, в то время как товар 3 для товара 1 — комплементом. Из-за указанного специфического свойства в более продвинутом анализе обычно используется несколько другое определение субститутов и комплементов. Определения, приведенные выше, описывают так называемые понятия "общие субституты" и "общие комплементы"; для наших целей этих определений вполне достаточно.

6.8. Обратная функция спроса

Если предположить, что p ₂ и m неизменны, и отложить на графике р ₁ по вертикальной оси и x ₁ по горизонтальной, то получим кривую спроса. Как сказано выше, обычно мы полагаем, что кривая спроса нисходящая, так что более высоким ценам соответствует меньший спрос, хотя пример товара Гиффена показывает, что дело может обстоять и по-другому.

До тех пор, пока мы действительно имеем дело с нисходящей кривой спроса, что типично, имеет смысл говорить об обратной функции спроса. Это такая функция спроса, в которой цена выступает функцией количества. Иными словами, для каждого данного уровня спроса на товар 1 обратная функция спроса показывает, какова должна быть цена товара 1, чтобы потребитель выбрал данный объем потребления. Таким образом, обратная функция спроса количественно выражает ту же самую взаимозависимость, что и прямая, но с другой точки зрения. На рис. 6.15 изображена обратная функция спроса — или же прямая функция спроса, в зависимости от того, как на нее посмотреть.

Вспомним, например, функцию спроса Кобба — Дугласа на товар 1, x ₁ = = am / p ₁. Можно с тем же успехом записать эту взаимосвязь между ценой и величиной спроса как p ₁ = am / x ₁. Первый способ представления данной взаимосвязи есть прямая функция спроса, второй способ представления — обратная функция спроса.

У обратной функции спроса имеется полезная экономическая интерпретация. Вспомним, что до тех пор, пока оба товара потребляются в положительных количествах, оптимальный выбор должен удовлетворять тому условию, что абсолютная величина MRS равна отношению цен:

.

Это говорит о том, что при оптимальном объеме спроса на товар 1, например, должно соблюдаться равенство

p ₁ = p ₂|MRS|. (6.4)

Таким образом, при оптимальном объеме спроса на товар 1 цена товара 1 пропорциональна абсолютной величине предельной нормы замещения товара 2 товаром 1.

Рис. 6.15

Обратная функция спроса. Если считать, что данная кривая спроса представляет цену как функцию количества, то перед вами обратная кривая спроса.

Предположим для простоты, что цена товара 2 равна единице. Тогда уравнение (6.4) говорит нам о том, что при оптимальном объеме спроса цена товара 1 показывает, сколько товара 2 готов отдать потребитель, чтобы получить немного больше товара 1. В этом случае обратная функция спроса количественно выражает просто абсолютную величину MRS. Обратная кривая спроса говорит о том, сколько товара 2 потребитель хотел бы получить, чтобы при любом оптимальном объеме х ₁ компенсировать малое сокращение потребляемого количества товара 1. Или, напротив, обратная кривая спроса показывает, сколько товара 2 готов уступить потребитель, чтобы ему стало безразлично, получит он взамен немного больше товара 1 или нет.

Если считать, что товар 2 — деньги, расходуемые на все другие товары, то MRS можно трактовать просто как то количество долларов, которое индивид готов уступить, чтобы получить взамен чуть больше товара 1. Ранее мы предположили, что в этом случае можно рассматривать MRS просто как меру предельной готовности платить. Поскольку цена товара 1 в этом случае есть не что иное, как MRS, это означает, что сама цена товара 1 измеряет предельную готовность платить.

При любом количестве х ₁ обратная кривая спроса показывает то количество долларов, которое потребитель готов уступить, чтобы получить чуть больше товара 1; или, другими словами, она показывает то количество долларов, которое потребитель готов был бы отдать за последнюю покупаемую единицу товара 1. Для достаточно малого количества товара 1 эти утверждения сводятся к одному и тому же.

Если посмотреть на нисходящую кривую спроса с данной точки зрения, то она приобретает новый смысл. Когда количество х ₁ очень мало, потребитель готов отдать много денег, т. е. много других товаров, чтобы приобрести чуть больше товара 1. По мере возрастания x ₁, потребитель готов отдать все меньше денег, чтобы в пределе приобрести чуть больше товара 1. Следовательно, предельная готовность платить, в смысле предельной готовности пожертвовать товаром 2 ради приобретения товара 1, при увеличении потребления товара 1 убывает.

Краткие выводы

1. Функция спроса потребителя на товар в общем случае зависит от цен всех товаров и от дохода.

2. Нормальный товар — это такой товар, спрос на который с ростом дохода увеличивается. Товар низшей категории — такой товар, спрос на который с ростом дохода уменьшается.

3. Обычный товар — это товар, спрос на который с ростом цены умень-шается. Товар Гиффена — товар, спрос на который с ростом цены увели-чивается.

4. Если спрос на товар 1 при росте цены товара 2 возрастает, то товар 1 является субститутом товара 2. Если спрос на товар 1 в этой ситуации сокращается, то товар 1 является для товара 2 комплементом.

5. Обратная функция спроса показывает цену, при которой возникает спрос на данное количество товара. Высота кривой спроса при данном объеме потребления показывает предельную готовность заплатить за добавочную единицу товара при этом объеме потребления.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Если потребитель потребляет только два товара и всегда тратит на них весь свой доход, то могут ли оба этих товара быть товарами низшей категории?

2. Покажите, что совершенные субституты являют собой пример гомотетич-ных предпочтений.

3. Покажите, что предпочтения Кобба — Дугласа гомотетичны.

4. Кривая "доход — потребление" для кривой Энгеля то же, что кривая "це-на — потребление" для...?

5. Если предпочтения описываются кривыми безразличия, выпуклыми от начала координат, то может ли потребитель потреблять оба товара вместе?

6. Каков вид обратной функции спроса на товар 1 в случае совершенных комплементов?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Если предпочтения имеют особый вид, это означает, что и функции спроса, возникающие на основе этих предпочтений, также принимают особый вид. В гл. 4 описаны квазилинейные предпочтения. Эти предпочтения предполагают существование кривых безразличия, параллельных между собой, и могут быть представлены функцией полезности вида

u (x ₁, x ₂) = v (x ₁) + x ₂.

Задача на нахождение максимума подобной функции полезности принимает вид

max v (x ₁) + x ₂

x ₁, x ₂

при p ₁ x ₁ + p ₂ x ₂ = m.

Выразив из бюджетного ограничения х ₂ как функцию от х ₁ и подставив результат в целевую функцию, получаем

max v (x ₁) + m / p ₂ — p ₁ x ₁/ p ₂.

x ₁

Взяв производную данного выражения, получаем условие первого порядка

.

Эта функция спроса обладает интересным свойством — спрос на товар 1 должен быть независим от дохода, что мы уже видели при использовании кривых безразличия. Обратная кривая спроса дана уравнением

p ₁(x ₁) = v’(x ₁) p ₂.

Иными словами, обратная кривая спроса на товар 1 есть производная функции полезности, умноженная на p ₂. Стоит нам узнать функцию спроса на товар 1, и функция спроса на товар 2 может быть найдена из бюджетного ограничения.

Например, рассчитаем функции спроса для функции полезности вида

u (x ₁, x ₂) = ln x ₁ + x ₂.

Применение условия первого порядка дает

,

так что прямая функция спроса на товар 1 есть

,

а обратная функция спроса есть

.

Прямую функцию спроса на товар 2 находим подстановкой в бюджетное ограничение:

— 1.

Необходимо сделать одно предостережение в отношении указанных функций спроса. Обратите внимание на то, что в рассматриваемом примере спрос на товар 1 независим от дохода. Это общее свойство, присущее квазилинейным функциям полезности: при изменении дохода спрос на товар 1 остается постоянным. Однако данное утверждение верно лишь для некоторых значений дохода. Функция спроса не может быть в буквальном смысле независимой от дохода для всех его значений; скажем, когда доход равен нулю, спрос тоже равен нулю. Выведенная выше квазилинейная функция спроса имеет смысл только при потреблении положительных количеств каждого товара. При низких уровнях дохода функция спроса принимает несколько иной вид. См. рассуждения по поводу квазилинейных функций спроса в кн. Hal R.Varian, Microeconomic Analysis, 3rd ed. (New York: Norton, 1992).