Множества. Основные понятия

Во всех областях современной математики, за исключением узко специальных ее разделов, связанных с аксиоматическим построением теории множеств, понятие множества принято считать основным, неопределяемым понятием. Создатель теории множеств немецкий математик Г. Кантор (1845 – 1918) пояснил понятие множества следующим образом: «Множество, или совокупность - это собрание определенных и различных объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое в качестве единого». Говорят также, что множество – это совокупность, собрание, или семейство каких-либо реально существующих или мыслимых объектов. Предполагается, что объекты, входящие в множество, попарно различны. Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами.

Множества задаются двумя способами:

1) перечислением всех элементов множества;

2) указанием характеристического свойства элементов данного множества, т.е. такого свойства, которым обладают элементы данного множества и только они.

Введем необходимые обозначения и определения.

Множества обозначаются прописными латинскими буквами ; элементы множеств – строчными латинскими буквами . Знак множества - .

Например: а) - конечное, двухэлементное множество.

б) - множество задано характеристическим свойством, т.е. это множество таких х, которые удовлетворяют уравнению (т.е. множество корней уравнения ).

На основании этого примера можно сделать вывод, что одно и тоже множество может быть задано разными характеристическими свойствами.

означает «элемент а принадлежит множеству А».

- «элемент а не принадлежит множеству А».

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, и обозначается символом .

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Так, в приведенном выше примере, множества и равные.

Для некоторых, часто используемых и известных из средней школы числовых множеств, существуют стандартные обозначения:

N = - множество целых неотрицательных чисел (или множество натуральных чисел), т.е. чисел, используемых при счете;

N₀ = - множество целых неотрицательных чисел;

Z = - множество целых чисел;

Q - - множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел (или вещественных) чисел, т.е. чисел, представимых бесконечными десятичными периодическими дробями;

(для Z, ) – множество .

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что А есть подмножество множества В (или В включает А), и пишут .

В частности, любое множество является подмножеством самого себя, т.е. .

Пустое множество считается подмножеством любого множества А, т.е. .

Очевидно, что множества равны тогда и только тогда, когда и . Если и , то говорят, что строго включает А, или А является собственным подмножеством множества В.

В повседневной практике нам часто приходится получать из одних множеств другие, например, объединяя заданные множества, выбирая из них общие или, наоборот, необщие элементы, и т.д. Для формализации таких способов получения множеств используются различные операции над множествами: пересечение, объединение, вычитание, дополнение и декартово произведение.