Неравенство Чебышева. Дисперсия

Доказательство следует из неравенства Маркова, примененного к случайной величине

Величина

называется дисперсия случайной величины. Она является естественной мерой разброса случайной величины относительно ее математического ожидания. Очевидны следующие свойства дисперсии.

1.

2.

3. для независимых с.в.

Следующее свойство выявляет смысл математического ожидания и дисперсии, как экстремальных характеристик с.в. Будем обозначать точку экстремума (минимума и максимума) функции так

Тогда

Для доказательства заметим, что по переменной x выражение

представляет собой квадратный трехчлен.