Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация

Доказательство. Если

то

и неравенство превращается в равенство.

Если

то, используя очевидное неравенство

получаем

что эквивалентно доказываемому неравенству.

Применяя неравенство КБШ к случайным величинам

получаем

Величина

называется ковариация случайных величин

и, как мы увидим в дальнейшем, является естественной мерой связи этих случайных величин между собой.

Величина

называется коэффициент корреляции случайных величин

Из неравенства КБШ следует, что

и если

то между этими случайными величинами существует (почти наверное) линейная зависимость

с положительным коэффициентом a. В этом случае говорят, что случайные величины положительно коррелированы. Если

то коэффициент a отрицателен и случайные величины отрицательно коррелированы. Коэффициент корреляции используют как меру зависимости случайных величин.