Условное математическое ожидание, условная вероятность и условное распределение

Условное математическое ожидание является одним из основных понятий современной теории вероятностей. Оно позволяет дать корректное определение условной вероятности относительно возможных (непустых) событий, имеющих нулевую вероятность. Необходимость такого определения становится ясной из следующего примера.

Пусть - случайная равномерно распределенная точка на единичном квадрате. Тогда случайные величины независимы, равномерно распределены на единичном отрезке и

С одной стороны в силу независимости случайных величин условная вероятность события при условии должна совпадать с его безусловной вероятностью

с другой стороны формальное вычисление этой условной вероятности по формуле условной вероятности

невозможно. Понятие условного математического ожидания позволяет дать новые, более общие, определения для условной вероятности и условного распределения.