Многие свойства условного математического ожидания аналогичны и, в основном, доказываются аналогично соответствующим свойствам математического ожидания. В дальнейшем в этом пункте равенства и неравенства понимаются в смысле почти наверное и, при необходимости, предполагается существование у случайных величин математических ожиданий и вторых моментов.
1. = с
2.
3. Если , то
4.
5.
6.
7. Если , то
8.
9. Пусть - G – измерима, тогда
10. Пусть не зависит от сигма-алгебры G, (т.е. любые события независимы), тогда
11. -неравенство Коши -Буняковского
12. Если функция выпукла как , то -неравенство Йенсена
13.
14. Для условных математических ожиданий верны теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, в частности теорема о монотонной сходимости.
·
Попробуйте доказать эти свойства. Самостоятельное доказательство поможет лучше понять определение условного математического ожидания | · Доказательства свойств 1)- 8) непосредственно следуют из определения условного математического ожидания, неравенства 11), 12) доказываются также как аналогичные неравенства для математического ожидания, свойства 9) и 10) сначала устанавливаются для простых функций, а затем переносятся на общий случай с помощью теорем о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Доказательство свойства 13) с учетом 6) и 9) аналогично доказательству соответствующего экстремального свойства математического ожидания. 14) получается применением теоремы для монотонной сходимости для интеграла Лебега. |
|
|