Условное распределение

Пусть и - случайные векторы произвольной конечной размерности (например, k и s) заданные на некотороми вероятностном пространстве

Функция называется условным распределением случайной величины при условии , если

1. При каждом условная вероятность

2. При каждом функция является распределением

Замечательным является тот факт, что для любых случайных векторов условное распределение существует. Доказательство этого утверждения и более общие условия существования условного распределения можно найти, например, в книге Ширяева. Для условного распределения часто используют следующее обозначение:

Если условное распределение при каждом имеет плотность относительно некоторой меры , то эта плотность называется условной плотностью распределения случайной величины при условии и обозначается

Обозначив распределение случайной величины , используя свойства 8) и 9) условного математического ожидания получим, что для любых борелевских подмножеств