Вычисление условной плотности и условного математического ожидания

Теорема.

Если у вектора существует совместная плотность распределения относительно произведения мер , то функция

где

является условной плотностью распределения случайной величины при условии

Доказательство.

Так как

, то является плотностью распределения случайной величины . Очевидно, также что

удовлетворяет условию

,

эквивалентному определению условной плотности.

Доказательство завершено.

Через условную плотность легко выразить условное математическое ожидание

Теорема.

Пусть - борелевская функция из в , тогда