Функция плотности НСВ. Интегральная функция распределения НСВ. Характеристики НСВ

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется производная от ее функции распределения, т.е.:

. (1)

Если известна плотность распределения вероятностей , то справедлива формула:

. (2)

Геометрически вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из интервала , численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения плотности , осью Ox и прямыми и

Связь между функцией распределения и плотностью вероятности :

1. Если известна , то .

2. Если известна , то . (3)

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. при любом .

2. Условие нормировки:

. (4)

3.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей числовой оси, вычисляются, соответственно, по формулам:

, (5)

. (6)

В частности, если все возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежат интервалу , то формулы принимают вид:

,

.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной случайной величины:

.

Замечание. Следует заметить, что важнейшая характеристика положения – математическое ожидание – существует не для всех случайных величин. Можно составить примеры таких случайных величин, для которых математического ожидания не существует, так как соответствующая сумма или интеграл расходятся.

Пример. По заданной функции распределения найти функцию плотности , построить графики и , найти

.

Решение. Функцию плотности находим по определению :

Строим графики функций и

Пользуясь формулой , находим математическое ожидание случайной величины X:

=

Указанный интеграл вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:

.

В нашем случае:

Пользуясь формулой , находим дисперсию случайной величины X:

Тогда среднее квадратическое отклонение равно:

По формуле вычисляем:

Задачи

1.В магазине имеются 10 телевизоров, из которых 4 дефектные. Пусть Х – случайная величина – число исправных телевизоров среди трех выбранных. Найти закон распределения X, M(X) и D(X).

2.В экзаменационном билете 3 задачи. Вероятность правильного решения студентом первой задачи равна 0,8, второй – 0,6 и третьей – 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа правильно решенных задач.

3.Случайная величина Х принимает значения и с вероятностями 0,2 и 0,8 соответственно. Известны ее математическое ожидание М(Х) = 1,3 и дисперсия D(X) = 0,16. Найти значения случайной величины.

4.Найти закон распределения числа пакетов акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из трех пакетов равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

5.Случайная величина распределена равномерно на некотором промежутке. Найти концы этого промежутка, если ее математическое ожидание равно 5, а дисперсия равна .

6.Вероятность попадания в мишень равна р. Пусть Х – случайная величина, характеризующая количество попаданий в мишень при одном выстреле. Пусть Y – случайная величина, характеризующая количество промахов по мишени при одном выстреле. Найти совместный закон распределения дискретной случайной величины {X,Y} и ее функцию распределения.

7.Дана функция распределения случайной величины Х

Найти: а) ряд распределения; б) M(X) и D(X); в) построить многоугольник распределения и график F(x).

8.Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся поступающим в институт. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

9.Найти закон распределения числа пакетов акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из трех пакетов равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

10.Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составить закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.