Теорема Бернулли

Теорема Бернулли является также одной из форм закона больших чисел. Если вероятность p наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и число испытаний достаточно велико, то

.

При конечном значении n:

, где .

Пример. Вероятность наступления события в каждом из 1000 независимых испытаний постоянна и равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что отклонение числа наступлений события от математического ожидания будет не менее 30.

Решение. Неравенство Чебышева имеет вид:

.

Для применения неравенства Чебышева найдем математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) случайной величины Х – числа наступления события в 1000 независимых испытаниях:

M(Х)=np=1000 0,3=300;

D(Х)=npq=1000 0,3 0,7=210,

где q=1– p.

Отсюда, искомая вероятность P

Пример. Вероятность наступления события А в каждом из 1000 независимых испытаний постоянна и равна 0,3. Почему нельзя с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что число появления события А будет заключено в границах от 160 до 460? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы.

Решение. Неравенство Чебышева имеет вид:

.

Но это означает, что оценивается вероятность события: «случайная величина X примет значение в интервале от M(X) – e до M(X) + e». То есть интервал должен быть симметричен относительно математического ожидания, иначе этим неравенством воспользоваться нельзя. В нашем случае имеем биномиально распределенную дискретную случайную величину X,

где, n = 1000 – число независимых испытаний;

p = 0,3 – вероятность успеха в каждом испытании.

Тогда M(X) = np = 1000 × 0,3 = 300.

M(X) – e = 160.

M(X) + e = 460.

Нельзя найти такого e, чтобы оно одновременно удовлетворяло обоим равенствам ( = 300 – 160 = 140; = 460 – 300 = 160).

Изменим левую границу на 140. Тогда:

.

Дисперсия D(X) = npq = 1000 × 0,3 × 0,7 = 300 × 0,7 = 210.

.

Задачи

1.Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит не более 300 г?

2.Средний суточный расход электроэнергии в населенном пункте для личных нужд составляет 4000 квтч. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте не превзойдет 10000 квтч.

3.Дано: ; D(X) = 0,004. Используя неравенство Чебышева, найти e.

4.Вероятность того, что покупатель произведет покупку в магазине, равна 0,65. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что из 2000 покупателей число сделавших покупки, будет находиться в границах от 1260 до 1360 включительно? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы.

5.Пусть вероятность производства нестандартных деталей в некоторых технологических условиях равна 0,1. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что число нестандартных среди 10000 деталей будет заключено в границах от 950 до 1030? Какой должна быть правая граница, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным? Решить задачу при соответствующем изменении правой границы.

6.Для определения урожайности поля из 200 га взяли выборку с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 2. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности от средней урожайности не превосходит 0,2 ц.

7.Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью, большей 0,95, можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более, чем на 0,2?

8.Длина изготовляемых изделий представляет случайную величину, математическое ожидание которой равно 90 см. Дисперсия этой величины равна 0,0225. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что:

а) отклонение длины изготовленного изделия от ее математического ожидания по абсолютной величине не превзойдет 0,4;

б) длина изделия выразится числом, заключенным между 89,7 и 90,3 см.

9.Выборочным путем требуется определить среднюю длину изготовляемых изделий. Сколько нужно обследовать изделий, чтобы с вероятностью, большей 0,9 можно было утверждать, что средняя длина отобранных изделий будет отличаться от математического ожидания этого среднего (принимаемого за среднюю длину изделий во всей партии) не более, чем на 0,001 см? Установлено, что среднеквадратическое отклонение длины детали не превышает 0,04 см.

10.Расход технической воды на предприятии составляет 5000 л в день, а среднеквадратическое отклонение этой величины не превышает 1000 л. Оценить вероятность того, что расход воды в день не превышает 10000 л.