Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Пусть НСВ задана плотностью распределения . И пусть все возможные значения принадлежат отрезку . Разобьем этот отрезок на частичных отрезков длиной и выберем в каждом из них произвольную точку . Составим сумму произведений возможных значений на вероятности попадания их в интервал (напомним, что произведение приближенно равно вероятности попадания в интервал ):

.

Переходя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный интеграл

.

Опр. Математическим ожиданием НСВ , возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл

. (4)

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси , то

. (5)

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно.

По аналогии с дисперсией дискретной СВ определяется и дисперсия НСВ.

Опр. Дисперсией НСВ , возможные значения которой принадлежат отрезку , называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

. · (6)

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси , то

. (7)

Среднее квадратическое отклонение НСВ определяется, как и для величины дискретной, равенством .

Замечания:

1. Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ.

2. Более удобные формулы для вычисления дисперсии:

и . (8)