Основные понятия математической статистики

Математической статистикой (МС) называется наука, занимающаяся разработкой методов получения, описания и обработки опытных данных с целью изучения закономерностей случайных массовых явлений.

Современную МС определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Современная МС разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи.

Основная задача МС состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов. Типичными задачами МС, которые наиболее важны для нас по своим практическим применениям являются следующие:

1. Оценка на основании результатов измерений неизвестной функции распределения. Постановка задачи: в результате независимых измерений (испытаний) над СВ получены ее значения: , , …, . Требуется приближенно оценить неизвестную функцию распределения СВ .

2. Оценка неизвестных параметров распределения. Постановка задачи: СВ имеет ФР определенного вида, зависящую от параметров, значения которых неизвестны (о типе ФР часто можно сделать достаточно определенное заключение на основании общетеоретических соображений). Требуется на основании опытных данных оценить значение этих параметров.

3. Статистическая проверка гипотез. Постановка задачи: на основании некоторых соображений можно считать, что ФР исследуемой СВ есть . Спрашивается: согласуются ли наблюдаемые значения СВ с гипотезой, что СВ действительно имеет распределение .

В частности, если закон распределения исследуемой СВ не вызывает сомнений и в проверке нуждаются только значения некоторых параметров, характеризующих распределение, то в задаче спрашивается: не опровергают ли опытные данные ту гипотезу, что параметры закона распределения имеют предположенные значения.

Введем основные понятия.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Опр. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. Обозначают .

Опр. Генеральной совокупностью (ГС) называют совокупность объектов, из которых производится выборка. Обозначают .

Опр. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

Выборку можно составить разными способами, а именно:

Опр. Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Опр. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются именно бесповторной выборкой.

Чем больше , тем, тем более обоснованное суждение можно высказать на основе выборки о свойствах ГС. Кроме того, для того, чтобы по данным выборки можно было сделать достаточно объективные суждения об интересующем нас признаке, выборка должна правильно представлять пропорции ГС. Это требование формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).

Как осуществить репрезентативную выборку?

На практике применяют следующие способы отбора:

1. Отбор, не требующий расчленения ГС на части: простой случайный бесповторный отбор.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части:

- типический отбор;

- механический отбор;

- серийный отбор.

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности.

Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части.

Этим признаком пользуются в тех случаях, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности.

Механическим называют отбор, при котором ГС «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект.

Механический отбор иногда не может обеспечить репрезентативности выборки.

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из ГС не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию.

Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.

На практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.

Статистическое распределение выборки.

Пусть из ГС извлечена выборка, объема , причем значение наблюдалось раз, - раз, …, - раз.

Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки - относительными частотами.

Опр. Статистическим распределением выборки (статистическим рядом) называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Обычно статистический ряд записывается в виде таблицы, первая строка которой содержит элементы , а вторая – их частоты .

При большом числе измерений простой статистический ряд и вариационный трудно обозримы и их анализ затруднен, поэтому строят группированный ряд. Весь диапазон значений вариант разбивают на заданное число интервалов . На каждом интервале находят - среднее значение варианты и - число элементов выборки, попавших в интервал . Количество интервалов можно определить и аналитически по формуле Стерджесса. В курсе «Эконометрика» утверждается, что наилучшим числом интервалов группировки («формула Стерджесса») является число

.

Здесь — десятичный логарифм числа - объема выборки.

Таким образом, статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал). В этом случае получают интервальную таблицу.

Статистический ряд представляет собой первичную форму записи статистического материала и может быть обработан различными способами, например, построением статистической (эмпирической) ФР.