Л- 15. Статистическая проверка гипотез

Нулевой называют выдвинутую гипотезу

Конкурирующей (альтернативной) наз. гипотезу , которая противоречит нулевой.

Статистическим критерием (критерием) наз. СВ, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Общая постановка задачи:

Имеются две противоположные гипотезы и и некоторая связанная с ними СВ . Требуется произвести проверку нулевой гипотезы относительно конкурирующей гипотезы на основании результатов измерений.

Но, в связи с тем, что на практике часто возникает необходимость на основании опытных данных сделать предположение о виде закона распределения интересующей нас СВ , то возникает необходимость решать следующую задачу:

Является ли расхождение между опытным законом распределения и предполагаемым законом распределения следствием ограниченного числа наблюдений, или оно является существенным и связано с тем, что действительное распределение СВ отличается от предполагаемого.

Для решения поставленной задачи необходимо использовать «критерии согласия». Идея их применения заключается в следующем.

Пусть на основании данного статистического материала нам предстоит проверить гипотезу , состоящую в том, что СВ имеет функцию распределения . Для того, что принять или опровергнуть эту гипотезу, будем рассматривать критерий - СВ , характеризующую степень расхождения теоретического и экспериментального (статистического) распределений. Например, в качестве СВ можно взять максимальное отклонение статистической ФР от теоретической . Очевидно, закон распределения СВ зависит от закона распределения СВ , над которой производились опыты, и от числа опытов .

Предположим, что закон распределения СВ нам известен.

Пусть в результате проведенных опытов над СВ величина приняла некоторое значение . Спрашивается, можно ли объяснить принятое значение случайными причинами или же это значение слишком велико и указывает на наличие существенной разницы между теоретическими и статистическими распределениями, т.е. непригодность гипотезы ? Для ответа на этот вопрос допустим, что верна гипотеза , и вычислим вероятность того, что СВ за счет случайных причин, связанных с ограниченным объемом экспериментального материала, примет значение не меньше, чем наблюдаемое значение , т.е. вычислим вероятность . Если эта вероятность мала, то гипотезу следует опровергнуть как малоправдоподобную, а если вероятность велика, то экспериментальные данные не противоречат гипотезе .

Но для вычисления вероятности необходимо знать закон распределения СВ , который, как мы сказали, зависит от закона распределения СВ (ФР ) и от числа опытов . Так вот, оказывается, что при некоторых способах выбора СВ ее закон распределения при достаточно большом практически не зависит от закона распределения СВ . Именно такими мерами расхождения и пользуются в математической статистике в качестве критериев согласия.

Таким образом, критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Область принятия гипотезы.

Наблюдаемым значением критерия наз. значение критерия, вычисленное по выборкам.

Критической областью наз. совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы наз. совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Различают правостороннюю и левостороннюю критические области. Правосторонней наз. критическую область, определяемую неравенством:

, - положительное число.

Левосторонней наз. критическую область, определяемую неравенством:

, - отрицательное число.

Одним из наиболее часто применяемых на практике критериев согласия, который позволяет производить проверку гипотезы соответствия опытного закона распределения предполагаемому (теоретическому) не только в тех случаях, когда последний известен полностью, но и тогда, когда параметры предполагаемого закона распределения определяются на основании опытных данных, является критерий согласия Пирсона или критерий .

Распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин называют распределением «хи-квадрат» с степенями свободы и обозначают .