Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Для определения точности оценки используют доверительный интервал, а для определения надежности – доверительную вероятность.

Пусть для параметра получена из опыта несмещенная оценка . Требуется оценить возможную при этом ошибку. Зададим некоторую вероятность , например , и найдем такое значение , для которого

или .

Т.е. неизвестное значение параметра попадет в интервал

. (6)

Опр. Доверительным называют интервал , который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.

При этом надежностью или доверительной вероятностью называется вероятность того, что истинное значение параметра лежит в этом интервале.

Пусть произведено независимых испытаний над СВ с неизвестным МО и дисперсией . На основании опытных данных для этих параметров получены оценки

и .

Доверительный интервал для МО приближенно равен

где (без доказательства), где находят по таблице приложения 3 по заданным и , а - среднее квадратическое отклонение.

Оценку

или (7)

называют классической. Из формулы , определяющей точность классической оценки, делаем выводы:

1. при увеличении число убывает, и следовательно, точность оценки увеличивается;

2. при увеличении надежности возрастает , и следовательно, точность оценки уменьшается.

Пример 1. Произведено 20 опытов над величиной . Результаты опытов приведены в таблице:


10,9	10,7		10,5	10,6	10,4	11,3	10,8	11,2	10,9

10,8	10,3	10,5	10,8	10,9	10,6	11,3	10,8	10,9	10,7

Найти интервальную оценку для МО (с надежностью ) величины .

►

Так как , используем исправленную дисперсию:

Найдем . По формуле (7):

или . ◄

Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенного количественного признака по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал:

, (8)

где - выборочная средняя; - «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение; находят по таблице приложения 3 по заданным и .

Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал:

(при ), (9)

(при )

где - «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение; находим по таблице приложения 4 по заданным и .

Пример 2. Произведено 10 независимых опытов над СВ , распределенной нормально с неизвестными параметрами и . Результаты опытов приведены в таблице: