Условная вер. Теорема умножения вер

Соб. А называется независимым от события В, если Р(А) не зависит от того, произошло соб. В или нет. Соб. А называется зависимым от соб. В, если Р(А) меняется в зависимости от того, произошло соб. В или нет. Опр.: Вер. соб. А, вычисленная при условии, что имело место другое соб. В, называется условной вер.ю (у.в.) события и обозначается P_В(A) или P(A\B). Условие независимости соб. А от соб. В можно записать в виде P_В(A)=P(A). Условие зависимости соб.: P_B(A)≠P(A). Теорема: Вер. произведения 2-ух событий равна произведению вер. одного из них на у.в. другого, вычисленную при условии, что 1-ая имела место, т.е. P(AB)=P(A) * P_A(B). Док-во: Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям. Предположим, что соб. А благоприятствует m случаев, а соб. В – k случаев. Т.к. мы не предполагали соб. А и В несовместными, то существуют случаи благоприяттвующие и соб. А, и соб. В одновременно. Пусть число таких случаев l(эль), тогда вер. соб. АВ будет равна l/n, а P(A)=m/n. Вычислим у.в. соб. В в предположении, что соб. А имело место. Если известно, что соб. А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m случаев, кот. благоприятствовали соб. А, а из них только l случаев благоприятствуют соб. В, поэтому P_A(B)= l/m. Подставляя в выражения вер. соб. АВ, вер. событ. А и у.в. соб. В, получаем тождество.

Замечание: При применении теоремы безразлично, какое из соб. А и В считать 1-ым, а какое 2-ым, т.е. P(AB)= P(A)* P_A(B)= P(B) * P_B(A)