Теорема о вероятности хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂,..., А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р (A) = 1 — q ₁ q ₂... q _n.(*)

Доказательство

Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А₁, А₂,..., А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = l — q ⁿ. (**)