Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей

Всякое случайное событие можно рассматривать как подмножество (обратное утверждение, вообще говоря, места не имеет), состоящее из всех тех , которые благоприятствуют событию (). Множество называют достоверным событием, а пустое множество , являющееся по определению подмножеством , называют невозможным событием.

Если , то говорят, что событие влечёт событие .

Произведением событий и называют событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходят одновременно оба события и . События и называют несовместными, если .

Суммой событий и называют событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий или .

Разностью событий и называют событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие , но не происходит событие . Событие , происходящее тогда и только тогда, когда событие не происходит, называют противоположным событию . Разность событий всегда можно представить в виде .

Систему подмножествA множества , замкнутую относительно алгебраических операций над счётным числом событий называют -алгеброй событий.

Пусть A - - алгебрa событийдля данного эксперимента. Вероятностью случайного события называется числовая функция , определённая для всех A и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) ; 2) ;

3) Для любой последовательности наблюдаемых случайных событий таких, что при , .

Тройка ,A, ) называется вероятностным пространством.

Из аксиом вероятности (А.Н.Колмогорова) следуют следующие её свойства:

1) ; 2) ; 3) Если , то ;

4) ; 5) .

Пусть и - наблюдаемые события в эксперименте, причём . Условной вероятностью осуществления события при условии, что событие произошло в результате данного эксперимента, называется величина, определяемая равенством: .

События и , имеющие ненулевую вероятность, называются независимыми, если выполняется равенство или , в противном случае события и называются зависимыми.

Сложным называют событие, наблюдаемое в эксперименте и выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических операций над событиями.

Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляется с помощью формул умножения вероятностей:

1) , ;

2) (для независимых событий)

и формул сложения вероятностей:

3) ;

4) (для несовместных событий).

В задачах 12.41-12.44 используя свойства вероятности, найти вероятности указанных событий.

12.41 Найти вероятность , если известны вероятности , =0.18.

12.42 Найти вероятности , , , если известны вероятности , , .

12.43 Найти вероятность , если известны вероятности , , .

12.44 Найти вероятность , если известны вероятности , , .

12.45 Доказать, что если , то события и совместны.

12.46 Наступление события необходимо влечёт наступление события . Доказать, что .

12.47 В ящике находятся катушки четырех цветов: белых - 50%, красных -20%, зеленых - 20%, синих - 10%. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется зеленой или синей?

12.48 В первом ящике 2 красных и 10 синих шаров, во втором ящике 8 красных и 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров красный, а другой синий.

12.49 Прибор, работающий в течение суток, состоит из трёх узлов, каждый из которых независимо от других может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0.9, второго 0.95, третьего 0.85. Найти вероятность того, что в течение суток прибор выйдет из строя.

12.50 В первой урне находятся 1 белый и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных шара, в третьей – 3 белых и 2 черных шара. Из каждой урны взяли по шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров будет 1 белый и 2 черных?

12.51 Вероятность того, что студент сдаст успешно первый экзамен, равна 0.9, второй – 0.8, третий – 0.7. Найти вероятности того, что студентом будут успешно сданы: а) все экзамены; б) по крайней мере два экзамена; в) хотя бы один экзамен;

12.52 В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров, во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по два шара. Какова вероятность того, что: а) все шары белые; б) все шары чёрные.

12.53 Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что за смену не будет выпущено ни одной нестандартной детали, равна 0.9. Определить вероятность того, что за три смены не будет выпущено ни одной нестандартной детали.

12.54 Для двух аппаратов вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа составляет для первого – 0.75; для второго – 0.8. Какова вероятность того, что оба аппарата будут бесперебойно работать на протяжении трех часов?

12.55 На четырёх одинаковых карточках написаны буквы: «Е», «С», «Т», «Т». Карточки перемешивают и раскладывают наудачу в ряд слева направо. Найти вероятность того, что при этом получится слово «ТЕСТ».

12.56 Из 10 карточек азбуки составлено слово «СТАТИСТИКА». Из этих карточек по схеме случайного выбора без возвращения отобрано 5 карточек. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слово «ТАКСИ».

12.57 Для некоторой местности среднее число ясных дней в июне равно 25. Найти вероятность того, что первые два дня июня будут ясными.

12.58 Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике 0.6, во втором – 0.7, в третьем – 0.8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) хотя бы в одном справочнике; г) во всех справочниках.

12.59 Три стрелка стреляют по разу в одну мишень независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0.6, вторым - 0.7, третьим - 0.75. Найти вероятности:

а) ровно одного попадания в цель; б) хотя бы одного попадания в цель.

12.60 А, В, С – компоненты электронной системы. Вероятность бесперебойной работы каждого из компонентов в течение года равна 0.95, 0.9, 0.93, соответственно. Какова вероятность работы всей системы без отказов на протяжении этого срока, если необходимо, чтобы: а) работали все три компонента; б) работали хотя бы два из трёх компонентов.

12.61 Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0.95, во второе отделение – 0.9 и в третье – 0.8. Найти вероятности того, что: а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

12.62 Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0.7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0.8. На первом станке изготовлены две детали, на втором – три. Найти вероятности того, что: а) все изготовленные детали - первосортные; б) хотя бы одна деталь – первосортная.

12.63 Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0.38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0.8.

12.64 Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при двух выстрелах равна 0,99. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

12.65 При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0.6. Найти вероятности того, что: а) двигатель начнёт работать при третьем включении зажигания; б) для запуска двигателя придётся включать зажигание не более трёх раз.

12.66 Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0.5. Спортсмены выполняют упражнения по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнения первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами.

12.67 Охотник выстрелил 3 раза по удалявшейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0.8, а после каждого выстрела уменьшается на 0.1. Найти вероятность того, что он: а) промахнется все 3 раза; б) попадет 2 раза.

12.68 Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов программы только 24. Какова вероятность сдать зачет, если для этого надо ответить на случайно доставшийся вопрос, а в случае неудачи ответить на дополнительный вопрос, предложенный преподавателем случайным образом?

12.69 В декларации фабрики, сопровождающей её изделия, сказано, что брак может составлять не более 1% и более того, 90% годной продукции является продукцией первого сорта. Специалист фирмы по маркетингу принимает решение о заключении контракта с данной фабрикой только в том случае, если взятое им наудачу изделие – первого сорта. Какова вероятность заключения контракта с данной фабрикой?

12.70 Вероятность попасть из орудия в самолёт равна 0.8, а вероятность сбить самолёт равна 0.5. Найти вероятность того, что при попадании из орудия в самолёт, он будет сбит.