Задачи. 17.58. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%

17.58. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.

17.59. При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании р = 0,7?

17.60. Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га взяли на выборку по 1 квадратному метру с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю менее чем на 0,25 центнера.

17.61. Определить сколько надо произвести замеров поперечного сечения деревьев на большом участке, чтобы средний диаметр деревьев отличался от истинного значения а менее чем на 2 см с вероятностью не меньшей 0,95. Среднее квадратическое отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 10 см.

17.62. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Найти вероятность того, что при посеве 10000 семян отклонение доли взошедших семян от вероятности того, что взойдет каждое из них, не превзойдет по модулю 0,01.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно раз, приближенно равна

или

,

где

.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит не менее раз и не более раз, приближенно равна

,

где :

(15)

Вероятность можно вычислить по формуле:

, (16)

где - функция Лапласа.

Пример.

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз.

Решение.

По условию , поэтому . Воспользуемся формулой (16), предварительно вычислив и по формуле (15):

.

Тогда

.