Нечеткие отношения

Отношение - множество упорядоченных кортежей, в каждом из которых элемент принадлежит одному из множеств, т.е. соотношение «меньше» - множество пар (a,b), для которых a < b.

Нечеткое отношение - получаем нечеткое множество кортежей (пар). Каждой паре присваивается определенная степень принадлежности. Так же, как и в случае обычных множеств, мы имеем для 2 множеств бинарное нечеткое отношение, для k множеств - k-арное нечеткое отношение.

Если у нас пустое нечеткое отношение, то это отношение, функция принадлежности которой ≡ 0 (как и обычное отношение). Полное нечеткое отношение - декартово произведение.

Вообще на функцию принадлежности не накладывают никаких других ограничений, кроме того, что ее значение должны быть от 0 до 1. Как и в случае обыкновенного отношения, особое значение имеют бинарные нечеткие отношения, т.е. когда мы имеем множество пар и для каждого находим функцию принадлежности.

Чтобы описать нечеткие отношения в случае конкретного носителя (основы), отношение можно задавать перечислением, можно использовать нечеткий граф (нагруженный граф) или матрицу.

Носителем нечеткого отношения Q будем называть обычное отношение, содержащие только те кортежи, функция принадлежности для которых > 0.

Отношение α-уровня - множество кортежей для которых функция принадлежности > α.

Аналогично для нечеткого множества определяется понятие высоты нечеткого отношения как ТВГ.

Дав нечетких отношения буду равны если для любой пары их функции принадлежности равны.

Если значения функции принадлежности отношения Q строго больше значения функции принадлежности отношения R, то говорят, что R включено в Q. . Если и , то отношения являются несравнимыми.

По аналогии с нечеткими множествами можно ввести все операции на нечетких отношениях.

Есть 2 нечетких отношения Q и R. Q задано на декартовом произведении X₁ и X₂, а R - X₂и X₃. Нечеткое отношение, заданное на X₁ * X₃, обозначается , функция принадлежности вычисляется по формуле: