Нечеткая логика

Как и классическая логика, нечеткая логика занимается истинностью высказываний. Однако в реальном мире высказывания часто являются частично истинными. Кроме того, мы часто используем термины, которые не четко определены.

Элементарным нечетким высказыванием называется повествовательное предложение, выражающее законченную мысль, относительно которой мы можем судить об ее истинности или ложности только с некоторой степенью уверенности.

Значение истинности высказывания - мера, лежащая на интервале [0;1] того, насколько мы уверены в том, что высказывание истинно, то есть согласуется со своими составляющими. Не только высказывания имеют значения истинности, данные также имеют связанные с ними значения истинности – меру достоверности их значений; правила также имеют связанные с ними значения истинности – меру достоверности самих правил. В общем, значение истинности (чего-либо) есть лежащая на интервале [0;1] мера достоверности (чего-либо).

Структура нечетких высказываний может быть существенно более общей, чем структура четких высказываний. В четких высказываниях данные редко бывают многозначными, и их значения истинности (если данные существуют) всегда равны 1. Четкие сравнения всегда булевы, возвращающие только 0 или 1. В нечетких высказываниях однозначные данные всегда сопровождаются значениями истинности.

Нечеткий предикат P (< x₁, x₂, …, x_k >) или, k-местный нечеткий предикат, формально определяется как некоторое отображение из декартова произведения Х₁, Х₂,..., Х_k в некоторое вполне упорядоченное множество значений истинности, в частности, в интервал [0,1], т. е. Р: Х₁ × Х₂ ×...× Х_k →[0, 1].

Отрицанием A (A, "не A") называется унарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого по определению принимает значение:

T(A) = 1 – T(A).

Конъюнкцией A и B (A ˄ B, "A и B ") называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого по определению принимает значение:

T(A ˄ B) = min{Т(A), Т(B)};

Т(A ˄ B) = Т(A)*Т(B);

Т(A ˄ B) = max{Т(A) + Т(B)-1, 0}.

Дизъюнкцией A и B (A ˅ B, "A или B") называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого по определению принимает значение:

T(A ˅ B) = max{Т(A), Т(B)};

T(A ˅ B) = Т(A)+Т(B)-Т(A)*Т(B);

T(A ˅ B) = min{Т(A)+Т(B), 1}.

Импликацией A и B (A ↄ B, "из A следует B") называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого по определению принимает значение:

Т(A ↄ B) = max{min{Т(Ã),Т(B)},1-Т(A)};

Т(A ↄ B) = max{Т(A),Т(B)}= max{1-Т(A),Т(B)} (классическая нечеткая импликация для случая Т(A)≥Т(B)).

Эквивалентностью A и B (A ≡ B, "A эквивалентно B") называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого определяется по следующей формуле:

Т(A ≡ B) = min{max{Т(A),Т(B)},max{Т(A),Т(B)}}.