Нечеткие множества

Пусть имеется универсальное (под)множество Х, а все остальные множества являются его подмножествами.

Пусть , Определим функцию следующим образом:

Функцию будем называть характеристической функцией множества. Любая такая ф-ция задает множество.

Пусть функция F(x) принимает любые значения из [0,1]. Тогда она будет называться функцией принадлежности, а ее значение μ(x) будем называть степень принадлежности элемента x нечеткому множеству F.

Для универсального множества μ(х) ≡ 1. Для пустого множества μ(х) ≡ 0.

Носителем нечеткого множества A будем называть такое множество, которое содержит только те элементы множества A, степень принадлежности которых > 0.

Множество α-уровня – множество элементов А_α, степень принадлежности которых > α.

ТВГ h_α функции принадлежности множества А называется высотой нечеткого множества.

Высота нечеткого множества всегда существует и равна какому-то числу из [0;1].

Нечеткое множество A называется субмодальным, если h_α =1, но не существует такого x, для которого μ(x) = 1.

Функция принадлежности называется унимодальной на интервале [а;b], если она непрерывна на [а;b], а также существует интервал [c,d]⊂[a;b], такой, что μ(х) строго монотонно возрастает на [a;c], монотонно убывает на [d;b] и принимает свое максимальное значение на [c;d]. Если [c;d] вырождается в точку, то говорят, что функция принадлежности строго унимодальна.

Нечеткое множество называется унимодальным, если его функция принадлежности унимодальна.

Ядром нечеткого множества называется такое обычное множество его элементов, для которых μ(х) = 1.

Если нечеткое множество не является нормальным, то его ядро будет пустым. Поскольку h_α всегда существует, то непустое нечеткое множество можно преобразить к субнормальному, поделив значение функции принадлежности на высоту h_α. Тогда ТВГ=1

Границами нечеткого множества называется такие элементы, для которых значения функции принадлежности отличны от 0 и 1.