Этапы построения математической модели

Процесс создания мат. модели обычно разбивают на 3 этапа:

1. Построение математической модели.

Начинается с изучения исследуемого объекта на неформальном уровне, с изучением всех его внутренних и внешних связей => строится некоторая содержательная модель. Этот этап очень важен для предотвращения искажения модели в будущем.

При построении содержательной модели важно вначале ее немного упростить: можно ли считать объект мат. точкой, разбивается ли на части твердое тело и т.п. Важно при этом не исказить решение. При упрощении широко применяется усреднение тех или иных свойств материала. Например, для неоднородного тела берется средняя плотность. Если имеются дискретные элементы, их можно заменить непрерывными. Важно выявить силы действующие в системе, какие из них существенные, а какие малосущественные. Важно знать, какие величины неизвестны, а какие вычислены. Все это нужно для того, чтобы модель было достаточно полной и не очень сложной. Поэтому сначала берется грубая модель, а затем она уточняется.

Далее идет формулирование мат. модели. Часто задачи ставятся в общей форме, их нужно оптимизировать. Желательно выяснить, какие величины нужны, как их получить и как оптимизировать. Основные критерии оптимизации – качество и стоимость.

Основные конструкционные элементы при построении модели – это постоянные и переменные величины и функции зависимостей между ними. Обычно выбирается одна из простейших функций, их комбинация или кусочная функция. Важно, что бы у функции были такие же особенности, как и у изучаемой зависимости. Затем надо подобрать параметры, вход. в эту функцию. Для этого обычно исп. метод наименьших квадратов.

Заданные и искомые величины соединяются с помощью уравнений и неравенств. Уравнения могут обычными, дифференциальными и т.д. Для упрощения модели используется упрощение уравнений. Осуществляется по-разному: переход к безразмерным величинам, отбрасывание малых слагаемых, переход от функций к константам и т.п. При этом обязательно нужно оценивать погрешность, что бы не испортить модель.