Геометрическая модель решения вероятностных задач

Удобной моделью решения вероятностных задач является геометрическая интерпретация случайных событий (элементарных исходов) в виде точек некоторой области − элементов некоторого множества как конечного, так и бесконечного. Множество имеет некоторую геометрическую форму и конечную меру: одномерное − длина, двумерное − площадь, трехмерное − объем, -мерное. Множество всех элементарных событий обозначается . Подмножество принадлежащее называется событием . Событие происходит тогда, когда происходит одно из элементарных событий (точек) из которых состоит подмножество (область ).

Вероятность события определяется как отношение меры части геометрической формы (подмножество ) к мере всей формы (множество ). Удобно меру всей формы принять единичной, т.е. единичный отрезок, (длина равна 1), единичный квадрат (площадь равна 1), единичный куб (объем равен 1). Тогда вероятность события количественно определяется длиной отрезка , площадью области , объемом формы, принадлежащих единичной мере, т.е. во всех случаях соблюдается аксиома:

.

3.1. Диаграммы Эйлера−Венна.

Для удобства восприятия и анализа логических операций среди единичных мер выбирается единичный квадрат. Тогда при решении вероятностных задач могут быть использованы диаграммы Эйлера-Венна, наглядно иллюстрирующие свойства операций над множествами и соотношения между множествами. Представим изложенное диаграммой

Здесь величина вероятности определяется площадью: , где , т.е. вероятность достоверного события равна единице (аксиома теории вероятностей); вероятность случайного события определяется площадью области : .

Противоположное событие изображается на диаграмме в виде

и соответственно:

Очевидно, что . Откуда следует известная формула:

.

Несовместные события изображаются на диаграмме несовмещенными областями (согласно определения эти события не происходят вместе), причем , , … . Например, для трех событий:

Совместные события изображаются на диаграмме совмещенными областями (согласно определения эти события могут происходить одновременно). Например, для трех событий.