Алгебра событий. Законы коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, поглощения, идемпотентности, двойственности

Из диаграммы Эйлера-Венна непосредственно следуют формулы алгебры событий:

- законы идемпотентности: если , то , ;

- законы коммутативности: , ;

- законы поглощения: ; .

Рассмотрим с помощью диаграммы Эйлера-Венна события противоположные исходным несовместным событиям , .

Тогда объединение и пересечение противоположных событий соответственно имеют вид:

Если исходные события совместны, то

и объединение и пересечение принимают вид:

Из приведенных диаграмм Эйлера-Венна непосредственно следуют законы двойственности (формулы де Моргана) для совместных событий:

,

для несовместных событий:

,

Формулы де Моргана обобщаются на произвольное количество событий:

,

и оказываются эффективными при аналитическом решении вероятностных задач, сводя их к обратным.

Например:

,

,

где .

С помощью диаграммы Эйлера-Венна устанавливается

- закон ассоциативности трех и более событий:

,

;

- закон дистрибутивности:

,

,

в частности, если , то

,

или

,

т.е. с учетом законов идемпотентности следуют законы поглощения.

Легко показывается, что

, ,

, ,

,

а также

, , .