Вероятности гипотез. Формула Бейеса

Пример: Случайные события образуют полную группу несовместных событий (гипотез), вероятности которых до испытания (эксперимента) известны и связаны условием . Событие происходит совместно с одной из гипотез, причем условные вероятности − известны. Произведен эксперимент, в результате которого наблюдается событие . Каким образом изменятся (перераспределятся) вероятности гипотез, когда результат испытания − событие станет достоверным (появится, осуществится, реализуется), т.е. следует найти условные вероятности , связанные известным тождеством .

Решение: Используем ранее приведенное симметричное (коммутативное) тождество:

.

Откуда искомая условная вероятность находится

,

где выражается известной формулой полной вероятности. Полученная формула условной вероятности называется формулой Бейеса (теорема гипотез).

Пример: Узел (подсистема TS) собирается из качественных деталей (элементов) и деталей, имеющих дефекты. Известно, что 40% узлов собирается из качественных деталей. Если узел собран из качественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за установленное время равна 0,95; если из дефектных деталей − его надежность равна 0,7. Узел испытывался в течении установленного времени и работал безотказно. Найти вероятность того, что узел собран из качественных деталей.

Решение: Строятся гипотезы:

− узел собран из качественных деталей;

− узел собран из дефектных деталей.

До испытания вероятность этих гипотез известна:

,

.

Известна также вероятность безотказной работы узла при гипотезах и , т.е.

,

.

После испытания оказалось − узел безотказно работал установленное время . Тогда условные вероятности гипотез (после эксперимента) найдем по формуле Бейеса:

, ,

где

,

т.е.

, .

Критерий проверки: .

Действительно: .