2015-06-10
806
Лекция 4.
Каждому исходу эксперимента по некоторому закону можно сопоставить число, которое реализуется тогда, когда реализуется данный исход.
Примеры: 1) число очков, выпавших при бросании игральной кости;
2) число бракованных изделий среди 
наугад взятых изделий;
3) число попаданий в цель при выстрелах;
4) время безотказной работы прибора.
Пусть 
вероятностное пространство эксперимента.
Случайной величиной 
называется вещественная функция 
, определенная на пространстве элементарных событий 
, т.е. 
. Однако не любая числовая функция, определенная на , является случайной величиной, а лишь такая, которая измерима относительно 
алгебры 
. Числовая функция 
, называется измеримой относительно алгебры , если прообраз любого интервала 
попадает в алгебру : 
. Измеримость случайной величины относительно алгебры требуется потому, что алгебра включает не все подмножества из множества , а только те, которые являются результатом счетного числа объединений и пересечений подмножеств. Несчетное число объединений и пересечений подмножеств в алгебру не попадают и событиями не являются.
|
|
|
Случайная величина -- функция , определенная на пространстве элементарных событий , имеющая вещественные значения и измеримая относительно алгебры , т.е. прообразы всех интервалов из 
являются событиями. Это означает, что для любого действительного 
справедливо утверждение
.
Отсюда следует, что
1) 
, так как если 
, то и 
2) 
,
так как если , 
, то 
Случайная величина – такая функция , для которой определены вероятности событий 
.
Пример 1. Стохастический эксперимент: бросание двух игральных костей имеет 36 исходов. Пространство элементарных событий 
. Случайными величинами являются
1) 
; 2) 
3) 
Пример 2. Стохастический эксперимент: бросание монеты до появления герба. Случайная величина - число бросаний до первого герба.
Пространство элементарных событий 
, 
Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.
Дискретной называется случайная величина, множество значений которой конечно или счетно.
Непрерывной называется случайная величина, множество значений которой представляет собой интервал или всю числовую ось.
Законом распределения случайной величины называют полное описание случайной величины, т.е. соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Функцией распределения случайной величины 
называется 
, т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение меньше .
