Биномиальное распределение. Схема Бернулли

Пусть производятся независимые испытания и при каждом испытании может быть 2 исхода: успех с вероятностью или неудача с вероятностью , при этом ().

Примеры

1) Стрельба по цели. При каждом выстреле 2 исхода: попадание или промах.

2) Проверка наугад выбранного изделия, которое может оказаться качественным или бракованным.

3) Подбрасывание симметричной монеты.Может выпасть герб или решетка.

Построим вероятностную модель эксперимента в случае .

Пространство элементарных событий .

, , , . Поскольку испытания независимы, то вероятности элементарных исходов определяются как произведение вероятностей.


P

В качестве случайной величины рассмотрим число успехов в серии из 2 испытаний. Построим ряд распределения случайной величины

При этом , так как .

Пусть теперь опыт повторяется раз. При каждом опыте событие А (успех) происходит с вероятностью и не происходит с вероятностью , причем эти вероятности от опыта к опыту не меняются. Случайная величина – число успехов в серии из испытаний, Найдем вероятность того, что , т.е. что событие А (успех) наступит раз (а, следовательно, неуспех наступит раз).Найдем вначале, что событие А (успех) произойдет при первых опытах и не произойдет при последних опытах. Применяя теорему умножения вероятностей, получим . Но событие А может произойти раз и в другой последовательности. Общее число всех возможных последовательностей равно . Вероятность появления события А для каждой такой последовательности равна . Вероятность появления какой либо одной из этих последовательностей найдем с помощью теоремы сложения вероятностей

, где .

Полученная формула является формулой для –го члена бинома Ньютона . Поэтому такое распределение вероятностей называется биномиальным. Впервые это распределение подробно изучил Бернулли. Поэтому стохастический эксперимент, приводящий к биномиальному распределению, называется схемой Бернулли.

Функция распределения биномиального закона имеет вид

где неотрицательное целое число.

Пример. Прибор состоит из четырех элементов. Вероятность отказа каждого из них равна . Найти вероятность отказа 0,1,2,3,4 элементов во время работы прибора.