Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения

Следующая теорема с новой точки зрения освещает геомет­рическую природу эллипсов, гипербол и парабол

Теорема 14. Сечением любого круглого конуса плоскостью (не проходящей через его вершину) определяется кривая, которая может быть лишь эллипсом, гиперболой или параболой. При этом, если плоскость пересекает только одну полость конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс, если секущая плоскость пересе­кает только одну полость конуса и по незамкнутой кривой, то эта кривая—парабола, если плоскость пересекает обе полости конуса, то в сечении образуется гипербола (рис. 71).

Справедливость этой теоремы можно установить, исходя из того общего положения, что пересечение поверхности второго порядка плоскостью есть линия второго порядка.

Из рис. 71 легко усмотреть, что, поворачивая секущую плоскость вокруг прямой PQ, мы заставим изменяться кривую сечения. Будучи, например, первоначально эллипсом, она на одно мгновение становится параболой, а затем превращается в гиперболу. Параболой эта кривая будет тогда, когда секущая плоскость параллельна касательной пло­скости конуса.

Вследствие сказанного в этом параграфе эллипсы, гиперболы и параболы называются коническими сечениями.