2015-06-04
854
В технике связи очень часто возникает необходимость представления непрерывного сигнала совокупностью его значений в дискретных точках(сечениях). Такое представление называется дискретизацией функции сигнала по времени.
Очень часто дискретизацию осуществляют на основе теоремы В. А. Котельникова, согласно которой функция S(t), спектральная плотность которой отлична от нуля только в полосе частот(
) полностью определяется своими значениями, отсчитанными в дискретных точках через интервал
Значение функции S(t) в любой точке t выражаются формулой
где S(k 
t)-отсчеты непрерывной функции S(t) в дискретные моменты времени 
.Доказательство теоремы Котельникова приведено на стр.74-79[7] В.И.Дмитриев «Прикладная теория информации».
Геометрическая интерпретация ряда Котельникова.
Ортогональная функция Котельникова
Теорема Котельникова справедлива для сигнала с ограниченным спектром и неограниченным во времени(нефинитная функция). На практике это не выполняется и для реальных сигналов это приводит к увеличению погрешности.
|
|
|
Средний квадрат усечения спектра можно оценить
, где Е -энергия сигнала, 
-неучтенная энергия.
Пример. Определить по теореме Котельникова шаг дискретизации для детерминированной функции
Практическая ширина спектра
Таким образом, восстановление ограниченного во времени сигнала по отсчетам, полученным по теореме Котельникова при условии принудительного ограничения спектра сигнала, возможно только приближенно. Ошибка возникает не только за счет принудительного ограничения спектра, но и за счет конечного числа отсчетов в интервале времени T, которых в соответствии с теоремой Котельникова будет 
 |
-база сигнала
Эта составляющая является следствием пренебрежения вкладом бесконечного числа функций отсчетов, соответствующих выборкам за пределами интервала T. Меньше выборок, чем определено 
при сигнале со спектром 
и на отрезке 
брать нельзя, иначе теряется информационное содержание. Увеличение n позволяет повысить точность восстановления сигнала.
