Замена переменной (подстановка) в определенном интеграле

Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывно дифференцируема на отрезке , причем , то справедлива формула замены переменной в опре­деленном интеграле:

.

Доказательство. Пусть выполняются условия теоремы и — первообразная для функции на отрезке . По формуле Ньютона — Лейбница

⊠

Отметим, что при вычислении интеграла методом замены пере­менной одновременно с преобразованием подынтегрального выраже­ния изменяются соответственно и пределы интегрирования.

Пример. Вычислить .