В полярной системе координат

Пусть требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной ли­нией , заданной в полярной системе координат уравнением , b b . За базовую фигуру в полярной системе коорди­нат принимается криволинейный сектор — фигура, ограниченная линией и радиусами-векторами , . При этом криволинейный сектор будем считать правильной фигурой, т. е. такой, что любой луч , b b , исходящий из полюса , пересекает линию не более, чем в одной точке. Будем также предполагать, что функция непрерывна на отрезке .

Для вычисления площади криволинейного сектора приме­ним алгоритм составления интегральной суммы с последующим предельным переходом к определенному интегралу.

1. Разобьем отрезок на частичных отрезков точками . Обозначим , . Проведем лучи , . Тогда криволинейный сектор разобьется на частичных криволинейных секторов.

2. На каждом частичном отрезке , выберем произвольным образом точку и найдем значения функции в этих точках: .

3. Предположим, что на каждом из частичных отрезков функция постоянна и совпадает со значением . Тогда каждый частичный криволинейный сектор можно заменить круговым сектором с радиусом и центральным углом . Площадь такого кругового сектора вычисляется по формуле

.

Тогда

. (1)

Приближенное равенство тем точнее, чем меньше частичные отрезки, т. е. чем больше .

4. За точное значение площади S криволинейного сектора можно принять предел интегральной суммы (1) при .

.

Таким образом, площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле

.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной , r0.

Решение. Найдем область определения данной функции.

r0

r0

r0

b b

b b ,

при b b ,

при b b ,

при b b ,

при b b ,

На интервале от 0 до функция определена на трех участках. Изобразим график функции на рисунке.

Так как функция периодическая, то