2015-06-04
326
Приведем без доказательства три теоремы, с помощью которых можно исследовать вопрос о сходимости некоторых несобственных интегралов первого рода.
Теорема. (признак сравнения). Если на промежутке [ 
;+¥[ определены две неотрицательные функции 
и 
, интегрируемые на каждом конечном отрезке 
, причем 0b b для 
[ ;+¥[, то из сходимости интеграла 
следует сходимость интеграла 
,а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
Теорема (предельный признак сравнения). Если на промежутке [ ;+¥[ определены две положительные функции и , интегрируемые на любом конечном отрезке , и существует конечный предел
,
то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Теорема. Если на промежутке [ ;+¥[функция 
меняет знак и несобственный интеграл 
сходится, то сходится также и .
Отметим, что несобственный интеграл называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .
