Критерии сходимости несобственных интегралов первого рода

Приведем без доказательства три теоремы, с помощью которых можно исследовать вопрос о сходимости некоторых несобственных интегралов первого рода.

Теорема. (признак сравнения). Если на промежутке [ ;+¥[ определены две неотрицательные функции и , интегрируемые на каждом конечном отрезке , причем 0b b для [ ;+¥[, то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла ,а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Теорема (предельный признак сравнения). Если на проме­жутке [ ;+¥[ определены две положительные функции и , интегрируемые на любом конечном отрезке , и существует конеч­ный предел

,

то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Теорема. Если на промежутке [ ;+¥[функция меняет знак и несобственный интеграл сходится, то сходится также и .

Отметим, что несобственный интеграл называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .