Линейные дифференциальные уравнения. Свойства их решений

Дифференциальное уравнение вида:

a₀(x) y^II + a₁(x)y^I + a₂(x)y = b(x) (5)

называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Здесь коэффициенты уравнения a₀(x), a₁(x), a₂(x) и свободный член b(x) – заданные функции аргумента x.

Если b(x) = 0, то линейное уравнение примет вид:

a₀(x) y^II + a₁(x)y^I + a₂(x)y=0

называется однородным линейным дифференциальным уравнением (или уравнением без правой части).

Если же b(x) ¹ 0, то уравнение (5) называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением (или уравнением с правой частью).

Для уравнения (5) справедлива терема существования и единственности решения (Теорема Коши).

Теорема Коши (о существовании и единственности решения).

Если коэффициенты a₀(x), a₁(x), a₂(x) и правая часть b(x) линейного уравнения (5) непрерывны в интервале ]a; b[, причём коэффициент a₀(x), не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, то каковы бы ни были начальные условия где точка x₀ принадлежит интервалу ]a; b[, существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.

Итак, линейные дифференциальные уравнения могут быть однородными и неоднородными.