Математическое описание АСР

Уравнения статики и динамики.Поведение системы в уста-новившемся состоянии определяется уравнениями статики, или статически­ми характеристиками, Под статической характеристикой понимают зависи­мость между входной х_вх и выходной х_вых величинами системы в равновесном состоянии

х_вых =f(х_вх) (I,1)

Обычно уравнения статики являются алгебраическими.

Поведение системы в неравновесном состоянии или в переходном процессе описывается уравнениями динамики. В общем виде уравнение ди­намики или динамическая характеристика системы с входной х_вх и выходной х_вых величинами представляет собой зависимость типа

х_вых =f(х_вх,t) (I,2)

Которая, как правило, представляет собой дифференциальное: урав­нение. Прохождение сигнала по каналам системы характеризуется своими уравнениями статики и динамики.

Линеаризация уравнений. Поведение реальных систем обычно описы­вается нелинейными уравнениями. Решение таких: уравнений довольно сложно, нахождение даже приближенного численного решения требует большого объема вычислений. Поэтому при инженерных методах анализа и расчета реальных систем применяют линеаризацию уравнений: нелинейные уравнения заменяют приближенными линейными, решать которые значи­тельно проще.

Часто нелинейной бывает лишь статическая характеристика системы или ее элементов. Так, нелинейную характеристик/ имеет резервуар для газа, входной величиной которого является степень открытия вентиля на линии поступления газа, 'ш выходной — давление газа в аппарате. Непрерывно дифференцируемую нелинейную статическую* характе­ристику можно линеаризовать, например, по методу малых отклонений. Для этого функцию разлагают в ряд Тейлора в окрестности точки, соответству­ющей нормальному (заданному) режиму работы системы, в данном случае это точка А с координатами х_{вх 0} и х_{вых 0} (рис. I-3).

Отбрасывая члены ряда, содержащие бесконечно малые величины второго и более высоких порядков, получим

Рис. I-3. Линеаризация статической характеристики.

Эта зависимость представляет собой уравнение прямой линии, каса­тельной к линеаризуемой функции при значении аргумента х_{вх 0}. Введя обо­значения

Получим

Некоторые простые функции (произведение, частное от деления пе­ременных х, у и др.) можно линеаризовать, подставив в них вместо перемен­ных х, у выражения типа (x₀+∆x), ( y₀+∆y ). Выполнив математические опера­ции, предписываемые линеаризуемыми функциями, и исключив из получен­ных зависимостей слагаемые, содержащие приращения второго и более вы­соких порядков, получают искомую линеаризованную функцию. Например, линеаризация произведения двух переменных проводится следующим обра­зом:

Принимая во внимание, что x0y0=z0 найдем

Аналогичным образом линеаризуют и уравнения динамики.

Линейные системы в статике и динамике описываются линейными уравнениями. Такие системы подчиняются принципу суперпозиции, или не­зависимости возмущений. Он заключается в том, что реакция системы на сумму входных воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности, т. е. каждая входная величина системы создает свою состав­ляющую выходной величины независимо от изменения других входных ве­личин. Это позволяет рассматривать поведение системы отдельно по каждо­му каналу прохождения сигнала.

Уравнение статики линейной системы имеет вид

(1.5)

где k= const — коэффициент усиления, или коэффициент передачи си­стемы.

Расчет линейных систем в статике состоит в определении общего ко­
эффициента усиления по значениям k отдельных ее элементов или в нахождении других конструктивных либо технологических параметров отдельных элементов системы, необходимых для ее расчета.

Уравнение динамики линейной системы n-го порядка с одной входной и одной выходной величинами это неоднородное линейное дифференциаль­ное уравнение с постоянными коэффициентами:

(1.6)

; — постоянные коэффициенты, зави­сящие от параметров входящих в систему элементов; t — время.

В физически реализуемых системах порядок левой части этого урав­нения выше или равен порядку правой части уравнения, т. е. п ≥ т. В левой части уравнения группируют слагаемые, содержащие выходную величину и ее производные, а в правой — слагаемые с входной величиной и ее произ­водными. При нескольких входных величинах все слагаемые, содержащие входные величины и их производные, записывают в правую часть уравнения. При наличии нескольких выходных величин поведение системы в переход­ном режиме описывают системой уравнений динамики, число которых равно числу выходных величин.

Решение уравнения динамики (I,6) представляет собой зависимость изменения выходной величины системы во времени при известном входном воздействии. По полученному решению определяют качество переходного процесса.

Уравнение динамики (I,6) при х_вх = 0 имеет вид:

Это однородное уравнение. Оно характеризует поведение системы, предоставленной самой себе, после снятия внешних возмущений. Его назы­вают уравнением свободного движения системы.

Из уравнения динамики (I, 6) можно получить уравнение статики си­стемы, приравняв в нем все производные нулю. Оно имеет вид уравнения (I,5), если k — b_m/a_m.

Обычно, входные и выходные величины в уравнениях статики и ди­намики записывают в относительном виде. При этом постоянные коэффици­енты уравнения динамики или безразмерны, или имеют размерность времени в степени, равной порядку производной соответствующего слагаемого.

Для упрощения записи уравнения динамики операцию диф-ференцирования обозначают символом р (здесь р — алгебраическая величи­на):

Аналогично операцию интегрирования обозначают 1/p: Аналогично операцию интегрирования обозначают 1/p:

Таким образом

Используя эти соотношения, получим следующую запись уравнения динамики системы (I, 6):

Заменяя полином в левой части уравнения (1,8) через D(p) а в правой части через К(р), окончательно получим

где D(p) —полином, характеризующий свободные колебания систе­мы; К(р) —полином, характеризующий внешнее возмущение