Схема Бернулли: n однотипных независимых испытаний. Основные задачи в схеме Бернулли

Опр.: несколько опытов называются независимыми, если их исходы представляют собой независимые в совокупности события; другими словами если опыт выполняется при данном комплексе условий многократно, причем наступление некоторого соб.А в каждом испытании не зависит от исхода других испытаний, то такие испытания называются независимыми.(Пример: подбрасывание монеты, стрельба по мишени без поправок на ошибку при повторном выстреле)

Опр.: последовательность n независимых испытаний в каждом из которых может про изойти некоторое событие А с вероятностью Р(А)=р, или соб. с вероятностью Р()=1-q называется схемой Бернулли. (Пример: при подбрасывании монеты, соб А выпадение герба, соб. - выпадение орла.)

Примеры:

1) Имеется 5 студенческих групп по 25 человек, в каждой из которых по 5 отличников. Из каждой группы выбирается случайным образом по одному студенту. Найти вероятность того, что среди выбранных студентов будет 3 отличника.

Решение:

Вероятность выбрать отличника в одной группе равна p=1/5.Выбор отличника будем считать успехом. Тогда число успехов среди n=5 испытаний должно равняться m=3. Таким образом, по формуле Бернулли искомая вероятность равна (1/5)³(4/5)²= (32/625).

2) Вероятность появления успеха равна 3/5. Найти наивероятнейшее число наступлений успеха, если число испытаний равно 19, 20.

Решение: при n =19 находим

Таким образом, максимальная вероятность достигается для двух значений m₀, равных 11 и 12. Эта вероятность равна P₁₉(11)=P₁₉(12)=0,1797. При n=20 максимальная вероятность достигается только для одного значения m₀, т.к.

не является целым числом. Наивероятнейшее число наступлений успеха m₀ равно 12. Вероятность его появления равна P₂₀(12)=0,1797. Совпадение чисел P₂₀(12) и P₁₉(12) вызвано лишь сочетанием значений n и p и не имеет общего характера.