2015-06-05
618
Применяется для решения задач с кусочно-непрерывным (кусочно-постоянным) управлением. Наиболее часто используются в случае, когда управление ограничено по величине 
и функционал линейно зависит от управления. Также, как и задачи классического вариационного исчисления по уравнениям ограничений и целевой функции записывают функцию Гамильтона, записывают систему уравнений Эйлера (Эйлера-Лагранжа, Эйлера-Гамильтона) и управляющее воздействие ищут таким образом, чтобы функция Гамильтона в каждый момент времени в явном виде имело максимальный уровень при изменении 
. Это возможно только тогда, когда функции 
на некотором интервале 
. И 
принимают 
, если исходный функционал минимизировался. Сам предел максимума формируется следующим образом: чтобы возможное допустимое управление 
и соответствующая ему траектория 
необходимо, чтобы существовало такое ненулевое решение 
системы уравнений Эйлера 
, 
, что при любом функция Гамильтона переменной 
достало в точке 
, 
максимума, при 
.
;
;
.
Возможным называют управление, которое обеспечивает перевод объекта из начальной в конечную точку.
Пример: 
;
;
;
, 
;
, 
.
Нужно обеспечить минимум.
;
;
;
;
1) 
2) 
.
Если 
тождественно не равна нулю, то 
и 
также не будут равны нулю.
- уравнение записывать не следует, т.к. функция Гамильтона линейно зависит в явном виде от , и максимум функции Гамильтона будет достигаться при граничных значениях ,т.е.
.
Как видно в данном случае управляющее воздействие будет кусочно-постоянным. Точку изменения знака , определенную в момент переключения управления найти из системы уравнений не всегда удается, т.к. если 
- неизвестна, следовательно, 
также неизвестна. Чтобы решить задачу необходимо из физических соображений выбрать начальное управление. Если 
, а 
, то очевидно, что управление должно быть отрицательным: 
;
Из начальных условий находим 
и 
. Очевидно, чтобы в момент времени 
попасть в точку 
;
, необходимо выбрать точку 
или определить ее из условия достижения нулевых значений при . Считаем, что с момента начинается второй интервал, причем 
, тогда:
и 
;
;
.
Если не задано, то имеем четыре неизвестных величины: , , 
, 
. Решая четыре уравнения, находим четыре величины и получаем точку переключения , , 
, 
.
Если задано, тогда на четыре уравнения приходится три неизвестных, в общем случае система не имеет решения, тогда вводим еще одну точку переключения 
.
;
Совместно со вторым участком получаем 6 неизвестных: , , 
, , 
, 
.
Запишем 6 уравнений:
;
;
;
;
;
.
Если целевая функция или функция Гамильтона нелинейно зависят от управления: 
,
то максимум функции Гамильтона может достигаться не на граничных значениях управления, а внутри интервала, тогда управление определяется:
.
