Применяется для решения задач с кусочно-непрерывным (кусочно-постоянным) управлением. Наиболее часто используются в случае, когда управление ограничено по величине и функционал линейно зависит от управления. Также, как и задачи классического вариационного исчисления по уравнениям ограничений и целевой функции записывают функцию Гамильтона, записывают систему уравнений Эйлера (Эйлера-Лагранжа, Эйлера-Гамильтона) и управляющее воздействие ищут таким образом, чтобы функция Гамильтона в каждый момент времени в явном виде имело максимальный уровень при изменении . Это возможно только тогда, когда функции на некотором интервале . И принимают , если исходный функционал минимизировался. Сам предел максимума формируется следующим образом: чтобы возможное допустимое управление и соответствующая ему траектория необходимо, чтобы существовало такое ненулевое решение системы уравнений Эйлера , , что при любом функция Гамильтона переменной достало в точке , максимума, при .
|
|
;
;
.
Возможным называют управление, которое обеспечивает перевод объекта из начальной в конечную точку.
Пример: ;
;
;
, ;
, .
Нужно обеспечить минимум.
;
;
;
;
1)
2) .
Если тождественно не равна нулю, то и также не будут равны нулю.
- уравнение записывать не следует, т.к. функция Гамильтона линейно зависит в явном виде от , и максимум функции Гамильтона будет достигаться при граничных значениях ,т.е.
.
Как видно в данном случае управляющее воздействие будет кусочно-постоянным. Точку изменения знака , определенную в момент переключения управления найти из системы уравнений не всегда удается, т.к. если - неизвестна, следовательно, также неизвестна. Чтобы решить задачу необходимо из физических соображений выбрать начальное управление. Если , а , то очевидно, что управление должно быть отрицательным: ;
Из начальных условий находим и . Очевидно, чтобы в момент времени попасть в точку ;
, необходимо выбрать точку или определить ее из условия достижения нулевых значений при . Считаем, что с момента начинается второй интервал, причем , тогда:
и ;
;
.
Если не задано, то имеем четыре неизвестных величины: , , , . Решая четыре уравнения, находим четыре величины и получаем точку переключения , , , .
Если задано, тогда на четыре уравнения приходится три неизвестных, в общем случае система не имеет решения, тогда вводим еще одну точку переключения .
;
Совместно со вторым участком получаем 6 неизвестных: , , , , , .
Запишем 6 уравнений:
;
;
;
;
;
.
Если целевая функция или функция Гамильтона нелинейно зависят от управления: ,
то максимум функции Гамильтона может достигаться не на граничных значениях управления, а внутри интервала, тогда управление определяется:
|
|
.